Linear analysis of the steady water waves flow over an obstacle in the single and multi-layer model
Institution:
PoitiersDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
The purpose of this work is to study a problem modelling steady water-waves generated by an obstacle in an N-layer fluid. As in the classical one-layer Neumann-Kelvin problem, our model is a linearized version of the steady-free surface multi-layer Euler equations around a rest state, where we end-up with an elliptic problem involving interface conditions. We start by considering the Neuman-Kelvin problem treating a single-layer flow over an obstacle lying on the physical domain’s bottom. We investigate the problem both by the variational and Fourier method. We distinguish between the subcritical and supercritical cases, meaning when the flow prescribed velocity upstream at infinity is less or larger than the wave velocity. Numerical simulations illustrate the subcritical and supercritical cases. The wave resistance is also computed, and waveless obstacles are obtained in the subcritical case. Chapter 2 generalizes our result from the single-layer case by considering the velocity at upstream infinity as varying, more precisely as a simple step function. As we explain later on, the interest of this case is that it represents the first step into the treatment, at least numerically, of the nonlinear problem. This context allows the flow to present certain zones where it is supercritical and others where it is subcritical. We call this case a transcritical flow. As in the single-layer, the treatment of the supercritical regime is immediate, as the variational solution is smoother than just ”finite energy” and is hence the unique solution to the initial problem. However, the case of a transcritical flow needs handling with more care, and we consider here only one of the two possible transcritical situations. The variational solution obtained in the transcritical case will not be a solution to the initial problem since it fails to satisfy the harmonicity condition. The regularization procedure needs to be carried out to correct the variational solution and obtain the original problem’s solution. In Chapter 3, we study a stratified layer case by considering a two-layer flow with rigid lid approximation at the free surface. We treat the problem both by the variational and Fourier transform method. Using the variational method, we can prove the existence and the uniqueness of the solution. The Fourier method allows us to explicitly determine the variational and the wake part of the solution. We also prove that in the presence of a rigid lid, when the upper layer’s density is zero, the interface between the layers behaves precisely as the free surface for the one-layer case and this result will also be recovered in a more general setting in the next section. Numerical simulations complete these results. Finally in Chapter 4, we concentrate on developing a qualitative theory for multi-layered fluids. We first establish a general theory that could apply to various stationary linear models when the Fourier method is used. Thus, studying different possible cases related to the existence and multiplicity of real roots for the dispersion relation gives a general treatment for the problem. We then apply this theory to the N-layer case with rigid lid and obtain the exact solution for each layer. We also consider the three-layer case with rigid lid, when the density of the upper layer is zero, and we compare the solution at the interfaces with the two-layer case with the free surface. Numerical simulations for the two-layer case with free surface illustrate the fluid dynamics for each layer, for the cases when the dispersion relation presents no roots, only one real root or two distinct real roots. For the cases when the dispersion relation presents one or two real roots, and thus the solution is oscillating downstream, we can also construct wakeless obstacles.
Abstract FR:
Nous étudions dans ce qui suit un problème de modélisation des ondes d’eau régulières générées par un obstacle dans un fluide de la couche N. Notre modèle est une version linéarisée des équations d’Euler multi-couche à surface libre autour d’un état de repos, où nous nous retrouvons avec un problème elliptique impliquant des conditions d’interface. Nous commençons par considérer le problème de Neumann-Kelvin en traitant un écoulement monocouche sur un obstacle situé au fond du domaine physique. Nous étudions le problème à la fois par la méthode variationnelle et par la méthode de Fourier. Nous faisons la distinction entre les cas sous-critiques et supercritiques. Des simulations numériques illustrent les deux cas. La résistance des ondes est également calculée, et des obstacles sans onde sont obtenus dans le cas sous-critique. Chapitre 2 généralise notre résultat du cas monocouche en considérant des variations de la vitesse à l’infini en amont, plus précisément comme une simple fonction de pas. L’intérêt de ce cas est qu’il représente la première étape dans le traitement du problème non linéaire. Ce contexte permet au flux de présenter certaines zones où il est supercritique et d’autres où il est sous-critique. Nous appelons ce cas un flux transcritique. Le cas du flux transcritique doit être traité avec plus de soin, et nous n’envisageons ici qu’une seule des deux situations transcritiques possibles. La solution variationnelle obtenue dans le cas transcritique ne sera pas une solution au problème initial puisqu’elle ne satisfait pas la condition d’harmonicité. La procédure de régularisation doit être effectuée pour corriger la solution variationnelle et obtenir la solution du problème initial. Dans Chaptire 3, nous étudions un fluide stratifié en considérant un écoulement à deux couches avec une approximation de couvercle rigide à la surface libre. Nous traitons le problème à la fois par la méthode variationnelle et par la transformée de Fourier. En utilisant la méthode variationnelle, nous pouvons prouver l’existence et l’unicité de la solution. La méthode de Fourier nous permet de déterminer explicitement la partie variationnelle et la partie sillage de la solution. Nous prouvons lorsque la densité de la couche supérieure est nulle, l’interface entre les couches se comporte exactement comme la surface libre pour le cas d’une seule couche, ce résultat sera également récupéré dans un cadre plus général dans la section suivante. Des simulations numériques complètent ces résultats. Enfin dans le dernier chapitre, nous nous concentrons sur le développement d’une théorie qualitative pour les fluides multicouches. Nous établissons d’abord une théorie générale qui pourrait s’appliquer à divers modèles linéaires stationnaires lorsque la méthode de Fourier est utilisée. Ainsi, l’étude de différents cas possibles liés à l’existence et à la multiplicité des racines réelles pour la relation de dispersion donne un traitement général du problème. Nous appliquons ensuite cette théorie au cas de la couche N avec couvercle rigide et obtenons la solution exacte pour chaque couche. Nous considérons également le cas à trois couches avec couvercle rigide, lorsque la densité de la couche supérieure est nulle, et nous comparons la solution aux interfaces avec le cas à deux couches avec la surface libre. Les simulations numériques illustrent la dynamique des fluides pour chaque couche, Pour les cas où la relation de dispersion présente une ou deux racines deux réelles, et donc où la solution oscille en aval, nous pouvons également construire des obstacles sans sillage.