Résultant déterminantiel et applications
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Abstract EN:
In the first part, we define algebraically the determinantal resultant of a morphism of finite free modules φ which input matrix of polynomials homogeneous φi;j. Using the Eagon-Northcott and Buchsbaum-Rim complexes associated with the morphism φ, we provide effective methods to calculate the determinantal resultant as its degree. In the case where the polynomial φi;j are in two variables, we show that the the determinantal resultant is given by the determinant of a matrix of coeffcients φi;j, which is a generalization of the Sylvester matrix of two polynomials. In the second part of the thesis, we study the Bezier curves and surfaces intersection problems avoiding the well-known unstable conversion between Bernstein basis and power basis. These problems have a special shape which is degenerate for the Macaulay resultant. We prove the existence of an anisotropic resultant for these degenerate systems and propose an algorithm to calculate it.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous définissons algébriquement le résultant déterminantiel d'un morphisme de modules libres de type fini dont la matrice a en entrée des polynômes homogènes φi;j. A l'aide des complexes d'Eagon-Northcott et de Buchsbaum-Rim associés au morphisme φ, nous proposons des méthodes effectives pour calculer ce résultant déterminantiel ainsi que son degré. Dans le cas où les polynômes φi;j sont à deux variables, nous montrons que ce résultant déterminantiel est donné par le déterminant d'une matrice en les coefficients des φi;j, qui est une généralisation de la matrice de Sylvester de deux polynômes. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions des problèmes d'intersection de courbes et surfaces de Bézier en évitant la fameuse conversion instable entre la base de Bernstein et la base monomiale. Ces problèmes jouissent d'une structure particulière qui est dégénérée pour le résultant de Macaulay. Nous prouvons l'existence d'un résultant anisotrope adapté à ces systèmes dégénérés et proposons un algorithme pour le calculer.