Abstract FR:

Les groupes quantiques ont fait leur apparition vers 1982. Ils ont depuis constitué l'un des sujets les plus florissants de mathématiques. Jamais pourtant, mis à part les résultats partiels de Gerstenhaber, la caractéristique principale de ces structures, la déformation, n'a été étudiée selon une théorie rigoureuse. C'est ce que nous faisons dans cette thèse. Au cours de 3 articles déjà publiés et un preprint, on a adapté la théorie des déformations algébriques à la catégorie naturelle pour les groupes quantiques: les algèbres quasi-hopf. On l'a ensuite appliquée à chaque ancien modèle trouvant des propriétés différentes de trivialité et de rigidité. Devant ces différences, nous avons été amenés à considérer un nouveau modèle, adhérence topologique de celui de Drinfeld, plus rigide (nullité d'une 2-cohomologie), déformation triviale de l'adhérence de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie. Il a de plus la propriété remarquable d'unifier de façon très simple les anciens modèles (dualité topologique). On montre enfin, dans l'exemple du double quantique, comment les concepts développés antérieurement s'adaptent facilement au nouveau modèle, et sont, de plus, susceptibles d'apporter de nouveaux et intéressants résultats