Fonctions généralisées périodiques et applications
Institution:
Antilles-GuyaneDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
We construct two algebras of generalized functions following the construction of the simplified algebras of Colombeau; the first is the algebra of periodic generalized functions and the second is that of partially periodic generalized functions. We give the main properties using the notion of coefficients and Fourier series, we also show that any partially periodic distribution admits a development in Fourier series. As an application of the first algebra, we prove a theorem of existence and uniqueness for the solution of a regular nonlinear differential equation with periodic generalized coefficients using Floquet's theory. We obtain a similar result for a Goursat problem with generalized periodic data and consider the particular case where these data are the Dirac measure. In the second algebra we study a nonlinear partial partial equation with partially periodic generalized coefficients using Floquet theory and partial Fourier coefficients. In this case, too, we give results of existence and uniqueness for the solution.
Abstract FR:
Nous construisons deux algebres de fonctions generalisees en suivant la construction des algebres simplifiees de Colombeau ; la premiere est l'algebre des fonctions generalisees periodiques et la seconde celle des fonctions generalisees partiellement periodiques. Nous en donnons les principales proprietes en utilisant la notion de coefficients et de series de fourier, nous montrons egalement que toute distribution partiellement periodique admet un developpement en serie de Fourier. Comme application de la premiere algebre, nous demontrons un theoreme d'existence et d'unicite pour la solution d'une equation differentielle ordinaire non lineaire a coefficients generalises periodiques en utilisant la theorie de Floquet. Nous obtenons un resultat analogue pour un probleme de Goursat a donnees generalisees periodiques et examinons le cas particulier ou ces donnees sont la mesure de Dirac. Dans la deuxieme algebre nous etudions une equation aux derivees partielles non lineaire a coefficients generalises partiellement periodiques en utilisant la theorie de Floquet et les coefficients de Fourier partiels. Dans ce cas aussi nous enoncons des resultats d'existence et d'unicite pour la solution.