Abstract FR:

Dans cette thèse, on s'intéresse aux plus grands facteur premiers d'entiers consécutifs. Désignons par P^+(n) (resp. P^-(n) le plus grand (resp. plus petit) facteur premier d'un entier générique n\geq 1 avec la convention que P^+(1)=1 (resp. P^-(1)=\∞). Dans le premier chapitre, nous étudions les plus grands facteurs premiers d'entiers consécutifs dans les petits intervalles. Nous démontrons qu'il existe une proportion positive d'entiers n tels que P^+(n)<P^+(n+1) pour n\in\, ]x,\, x+y] avec y=x^{\theta}, \tfrac{7}{12}<\theta\leq 1. Nous obtenons un résultat similaire pour la condition P^+(n)>P^+(n+1). Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à la fonction P_y^+(n), où P_y^+(n)=\max\{p|n:\, p\leq y\} et 2\leq y\leq x. Nous montrons qu'il existe une proportion positive d'entiers n tels que P_y^+(n)<P_y^+(n+1). En particulier, la proportion d'entiers n avec P^+(n)<P^+(n+1) est plus grande que 0,1356 en prenant y=x. Les outils principaux sont le crible et un système de poids bien adapté. Dans le troisième chapitre, nous démontrons que les deux configurations P^+(n-1)>P^+(n)<P^+(n+1) et P^+(n-1)<P^+(n)>P^+(n+1) ont lieu pour une proportion positive d'entiers n, en utilisant le système de poids bien adapté que l'on a introduit dans le Chapitre 2. De façon similaire, on peut obtenir un résultat plus général pour k entiers consécutifs, k\in \mathbb{Z}, k\geq3. Dans le quatrième chapitre, on étudie les plus grands facteurs premiers d'entiers consécutifs voisins d'un entier criblé. Sous la conjecture d'Elliott-Halberstam, nous montrons d'abord que la proportion de la configuration P^+(p-1)<P^+(p+1) est plus grande que 0,1779. Puis, nous démontrons qu'il existe une proportion positive d'entiers n tels que P^+(n)<P^+(n+2), P^-(n)>x^{\beta} avec 0<\beta<\frac{1}{3}