Abstract FR:

Le travail presente dans cette these se place dans la cadre general de la geometrie riemannienne et concerne en particulier la geometrie des sous-varietes, la geometrie des applications harmoniques et la geometrie de l'operateur de laplace. Pour ce qui est des sous-varietes, une premiere partie des resultats que nous obtenons porte sur le probleme d'existence d'immersions minimales isometriques d'une variete riemannienne dans une autre. Une autre partie concerne le probleme de stabilite des sous-varietes minimales ou a courbure moyenne constante. Par ailleurs, l'etude de l'effet d'une transformation de moebius sur le volume d'une sous-variete minimale de la sphere nous a permis d'isoler une classe particuliere de sous-varietes minimales, et de montrer que celles-ci poossedent une quantite de proprietes remarquables. Les resultats que nous obtenons sur les applications harmoniques spheriques portent essentiellement sur leur indice de morse. Ces resultats sont precises par l'etude de l'effet d'une transformation de moebius sur l'energie d'une telle application. Deux types de problemes sont traites dans la partie consacree aux valeurs propres du laplacien. Le premier est celui d'estimer la premiere valeur propre en fonction d'autres invariants geometriques. Le second est celui de l'isospectralite. Une derniere partie de cette these est consacree a la methode de witten