Abstract FR:

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude dynamique d'itérations aléatoires de difféomorphismes d'une variété, et plus particulièrement aux exposants de Lyapunov associés à cette dynamique, quantités mesurant les dépendances de la dynamique en la condition initiale. Dans un contexte pertubatif, nous montrons à l'aide de techniques de type KAM des résultats de rigidité qu'entraîne l'absence d'exposants de Lyapunov (dans le sens où les exposants de Lyapunov sont tous nuls), rigidité s'exprimant ici par l'existence d'une linéarisation simultanée des difféomorphismes considérés. Ce résultat représente le cœur du mémoire, mais en parallèle nous étudions aussi plus brièvement un cadre non perturbatif, donnons des conséquences dynamiques à l'existence d'exposants de Lyapunov strictement négatifs, et profitons d'une présentation des techniques KAM pour démontrer quelques résultats inédits autour des théorèmes de linéarisation des difféomorphismes du tore d'Arnold et Moser.