Abstract FR:

Gelfand et ses collaborateurs ont introduit les triades hilbertiennes afin de construire des familles complètes de fonctionnelles propres pour les opérateurs auto-adjoints (non nécessairement bornés) dans un espace de Hilbert. On reprend ici l’étude de ces fonctionnelles au travers des outils de l’Analyse non standard. L’espace étudié est ainsi plongé dans un espace qui « hérite » de nombre de propriétés des espaces de dimension finie et où en particulier les traditionnelles intégrales sur des mesures spectrales sont remplacées par des sommes hyperfinies. L’intégrale de Loeb fournit alors un puissant moyen pour transformer ces sommes hyperfinies en intégrales aisément maniables.