Abstract FR:

Cette these etudie un probleme de perturbation singuliere pour un probleme aux limites concernant un operateur de type schrodinger. Ce dernier depend d'un petit parametre strictement positif, et le potentiel, egalement positif, degenere au bord. On observe une couche limite. Dans la premiere partie on introduit des espaces a poids bien adaptes au probleme en dimension n. On peut alors montrer que le probleme admet une solution bien definie dans ces espaces, pour des donnees convenables. On peut donner des formules asymptotiques pour la vraie solution lorsque le petit parametre tend vers 0. Les termes d'erreur sont controles uniformement par rapport au petit parametre. On met en evidence le role de la fonction d'airy. Enfin on donne un encadrement de la plus basse valeur propre grace au principe du min-max. La seconde partie est consacree a l'etude d'un systeme couple. On s'interesse en particulier au cas ou l'un des operateurs est celui de la premiere partie. On cherche une estimation de la plus basse valeur propre. A cause de la couche limite, les valeurs du couplage pres du bord sont determinantes. On obtient plusieurs resultats grace au principe du min-max et a des methodes de perturbation. Enfin on peut ameliorer certains resultats en dimension un grace a l'analyse numerique : on etudie un probleme parabolique par la methode des differences finies, et on en deduit une majoration de la plus basse valeur propre.