Etude de la dynamique explosive des solutions de l'équation de Schrödinger non linéaire L2 critique
Institution:
Cergy-PontoiseDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Our work concerns the mathematical study of then Nth-dimensional non linear Schrödinger equation iu_t+[delta]u+u[vertical bar]u[vertical bar]^{4/N}=0. This system is a universal model of dispersive non linear Hamiltonian equation and appears in physics for the description of the self focusing of a laser beam or also for the formation of Bose-Einstein condensates. We propose a new dynamical approach to study the singularity formation of the vicinity of the exceptional solutions : the solitary waves. We prove in particular the existence of a stable blow up dynamic and the universality in this regime of the space-time structure of the singularity regarding both the blow up speed and the profil in space of the solution near collapse.
Abstract FR:
Nos travaux concernent l'étude mathématique de l'équation de Schrödinger non linéaire N-dimensionnelle iu_t+[delta]u+u[barre verticale]u[barre verticale]^{4/N}=0. Ce système est un modèle universel d'équation dispersive non linéaire Hamiltonienne et apparaît notamment dans la description de la focalisation des faisceaux lasers en optique non linéaire ainsi que celle de la formation des condensats type Bose-Einstein. Nous proposons une approche dynamique nouvelle pour étudier la formation de singularités en temps fini au voisinage des solutions exceptionnelles, les ondes solitaires. Nous démontrons en particluier l'existence d'une dynamique explosive stable et l'universalité dans ce régime de la structure de la singularité tant quant à la vitesse d'explosion que du profil en espace à l'explosion.