Abstract FR:

Dans cette th`ese, nous abordons certains aspects de l’analyse locale dans les vari´et´es presque complexes. Dans un premier temps, nous ´etudions le fibr´e cotangent qui est un outil important pour l’analyse et la g´eom´etrie complexe. Nous construisons un relev´e de structure presque complexe, `a l’aide d’une connexion, qui unifie les relev´es complets de I. Sato et horizontaux de S. Ishihara et K. Yano. Par ailleurs, nous d´egageons les principales propri´et´es analytiques et symplectiques du relev´e ainsi construit. Dans les deux ´etudes qui suivent, nous nous int´eressons aux propri´et´es locales des domaines pseudoconvexes de type de D’Angelo fini d’une vari´et´e presque complexe de dimension r´eelle quatre. Nous construisons des fonctions locales pic plurisousharmoniques, g´en´eralisant des travaux de J. E. Fornaess et N. Sibony. La construction d’une telle famille de fonctions permet d’´etablir des propri´et´es d’attraction et de localisation des disques pseudoholomorphes. En particulier, elle r´eduit l’´etude de la pseudom´etrique de Kobayashi `a un probl`eme purement local. Le comportement asymptotique de cette pseudom´etrique est reli´e `a certaines questions fascinantes d’analyse locale dans les vari´et´es comme les ph´enom`enes de prolongement au bord des diff´eomorphismes ou encore la classification des domaines, et fournit des informations int´eressantes sur les propri´et´es g´eom´etriques et dynamiques de la vari´et´e. Nous donnons alors des estim´ees locales de cette pseudom´etrique au voisinage du bord. De plus, dans le cas de stricte pseudoconvexit´e, nous obtenons des estim´ees tr`es fines nous permettant d’´etudier les liens entre l’hyperbolicit´e au sens de Kobayashi et l’hyperbolicit´e au sens de Gromov ; nous g´en´eralisons ainsi, au cadre presque complexe, un r´esultat dˆu `a Z. M. Balogh et M. Bonk.