Foncteurs de correspondances généralisées
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Abstract EN:
In recent works, Serge Bouc and Jacques Thévenaz studied correspondence functors, that is, representations of the category of correspondences. The objets of this category are finite sets, and arrows from X to Y are subsets of the cartesian product Y.x.X. These arrows can also be seen as maps from Y.x.X to the boolean lattice. Replacing the boolean lattice by any finite distributive lattice T, we get the notion of generalized T-valued correspondence functor. Their study is very fruitful : according to a methodology which has proved its efficiency, we first study simple functors. They are parametrized in terms of presheaves of finite posets. This parametrization has several interesting consequences, namely results of finite generation and stabilization for generalized correspondence functors. We also study pseudo-simple functors, and we give a conjecture, verified in several particular cases, fully describing pseudo-simple functors in terms of T-modules. We deduce of this conjecture a description of simple functors. The results of this thesis naturally generalize those of Serge Bouc and Jacques Thévenaz
Abstract FR:
Dans des travaux récents, Serge Bouc et Jacques Thévenaz étudient les foncteurs de correspondances, qui sont les représentations de la catégorie des correspondances, dont les objets sont les ensembles finis, et où les flèches de X vers Y sont les parties du produit cartésien Y.x.X ; ce que l'on peut aussi voir comme des applications de Y.x.X vers le treillis booléen. En remplaçant le treillis booléen par un treillis distributif fini quelconque T, on obtient la notion de foncteur de correspondances généralisées à valeurs dans T. Leur étude s'avère très fructueuse : selon une méthodologie qui a désormais fait ses preuves, on s'intéresse d'abord aux foncteurs simples, dont on donne un paramétrage en termes de préfaisceaux d'ensembles ordonnés. Ce paramétrage permet d'obtenir plusieurs résultats intéressants d'engendrement fini et de stabilisation pour les foncteurs de correspondances généralisées. On étudie également certains foncteurs dits pseudo-simples : on formule notamment une conjecture, vérifiée dans quelques cas particuliers, décrivant complètement les évaluations des foncteurs pseudo-simples à partir des modules sur T. On déduit de cette conjecture une description des foncteurs simples. Les résultats de cette thèse généralisent de manière naturelle ceux de Serge Bouc et Jacques Thévenaz