Multizêtas p-adiques et multizêtas finis
Institution:
Sorbonne Paris CitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis concerns the pro-unipotent fundamental group of the projective line minus three points, defined by Deligne in 1989. We consider more specifically its cristalline Frobenius and its "Knizhnik-Zamolodchikov" connection. The goal is to understand its p-adic periods, that is to say the p-adic analogues of multiple zeta values. The study also leads to a notion of "finite multiple zeta values" ; it enlightens another notion of finite multiple zeta values defined by Zagier in 2011. The parts I and II concern p-adic multiple zeta values. We give several ways, one "direct" (part I) and two "indirect" (part II), to compute them. It enables to discover as well certain properties of multiple harmonic sums. The part II leads to, among other things, the definition of the notion of finite multiple zeta values evoked above. These are elements of the product of all Zp's ; they can be expressed in terms of p-adic multiple zeta values, and vice versa. They must be seen as a substitute to p-adic multiple zeta values, which have the advantage to be given by very simple explicit formulas, and whose properties reflect those of p-adic multiple zeta values. The part III is mostly a study of the algebraic properties of finite multiple zeta values, and of other related numbers. We justify the statement that they are variants of multiple zeta values, by showing that they satisfy variants of the standard algebraic properties of multiple zeta values. At the end of part III, we obtain a new series expansion of p-adic zeta values. The three parts also contain other annex results.
Abstract FR:
Cette thèse porte sur le groupe fondamental pro-unipotent de la droite projective moins trois points, défini par Deligne en 1989. On considère plus spécifiquement son Frobenius cristallin et sa connexion dite de Knizhnik-Zamolodchikov. L'objectif est de comprendre ses périodes p-adiques, c'est-à-dire les analogues p-adiques des nombres multizêtas. L'étude poursuivie fait apparaître également une notion de "multizêtas finis" ; celle-ci éclaire une autre notion de multizêtas finis définie par Zagier en 2011. Les parties I et II concernent les multizêtas p-adiques. On y donne plusieurs manières, une "directe" (partie I) et deux "indirectes" (partie II), de les calculer. Cela permet de découvrir aussi certaines propriétés des sommes harmoniques multiples. La partie II débouche entre autres sur la définition de la notion de multizêtas finis évoquée plus haut. Ce sont des éléments du produit de tous les Zp ; ils s'expriment en termes des multizêtas p-adiques, et vice-versa. Il faut les voir comme un substitut aux multizêtas p-adiques, qui ont l'avantage d'être donnés par des formules explicites très simples, et dont les propriétés reflètent celles des multizêtas p-adiques. La partie III est principalement une étude des propriétés algébriques des multizêtas finis, et d'autres nombres qui leurs sont liés. On justifie l'assertion que ce sont des variantes des nombres multizêtas, en montrant qu'ils vérifient des variantes des propriétés algébriques standard des nombres multizêtas. A la fin de la partie III, on en déduit un nouveau développement en série des valeurs zêtas p-adiques. Les trois parties contiennent également d'autres résultats annexes