Inégalités de Morse holomorphes G-invariantes et formes de torsion asymptotiques
Institution:
Sorbonne Paris CitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we study some aspects of the semi-classical lirait in complex geometry. Let M be a complex manifold, endowed with a holomorphic line bundle L and a complex bundle E. We give here the asymptotic properties of several objects associated with the high tensor powers of L, twisted by E. In the first chapter, M is compact, L positive and E non necessarily holomorphic. We prove the cancellation of the first 2j terms in the diagonal asymptotic expansion of the restriction to the (0, 2j)-forms of the Bergman kernel. Then, we give a local formula for the leading coefficients. In the second chapter, M is compact, E holomorphic and a connected compact Lie group acts on M, L and E in a compatible way. We establish asymptotic holomorphic Morse inequalities à la Demailly for the invariant part of the Dolbeault cohomology. To do so, we define the reduction of M under natural hypothesis and give our inequalities in terms of the curvature of the bundle induced by L on this reduction. In the third chapter, E is holomorphic and Mis the total space of a holomorphic fibration with compact fibers. We can then define the holomorphic analytic torsion forms associated with this fibration and the tensor powers of L, twisted by E. We first give an asymptotic formula for these forms. Secondly, we generalize this formula in the case where the powers of L are replaced by the direct image of powers of a line bundle on a bigger manifold. In both cases we have to make positivity assumptions on the line bundle. These results are the family versions of the results of Bismut-Vasserot
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous étudions certains aspects de la limite semi-classique en géométrie complexe. Soit M une variété complexe munie d'un fibré en droites holomorphe L et d'un fibré complexe E. Nous donnons les propriétés asymptotiques d'objets associés aux grandes puissances tensorielles de L tordues par E. Dans le premier chapitre, M est compacte, L positif et E pas nécessairement holomorphe. Nous montrons l'annulation des 2j premiers termes du développement asymptotique diagonal du noyau de Bergman restreint aux (0,2j)-formes puis nous donnons une formule locale pour les coefficients dominants. Dans le deuxième chapitre, M est compacte, E holomorphe et un groupe de Lie compact connexe agit sur M, L et E de façon compatible. Nous établissons des inégalités de Morse holomorphes analogues à celles de Demailly pour la partie invariante de la cohomologie de Dolbeault. Pour cela, nous définissons, sous une hypothèse naturelle, la réduction de M et nous donnons nos inégalités en termes de la courbure du fibré induit par L sur cette réduction. Dans le troisième chapitre, E est holomorphe et M est l'espace total d'une fibration holomorphe de fibre compacte. On peut alors définir les formes de torsion analytique holomorphe associées à cette fibration et aux puissances de L tordues par E. Nous donnons d'abord une formule asymptotique pour ces formes, que nous généralisons ensuite dans le cas où les puissances de L sont remplacées par l'image directe des puissances d'un fibré en droites sur une variété plus grosse. Dans les deux cas, nous devons faire des hypothèses de positivité sur le fibré en droites. Ces résultats sont les versions en famille des résultats de Bismut-Vasserot.