A study of properties and computation techniques of the L2-Alexander invariant in knot theory
Institution:
Sorbonne Paris CitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This manuscript presents several properties, explicit values and computation techniques of L2-Alexander torsions for compact 3-manifolds with empty or toroidal boundary, especially for knot exteriors and link exteriors. The L 2 -Alexande torsions are generalisations of the twisted Alexander polynomials, as the cellular chain complex of the universal covering of a manifold is twisted by an infinite-dimensional Hilbert representation of the fundamental group of the manifold. The L2-Alexander torsions of 3-manifolds were defined in 2014 by J. Dubois, S. Friedl and W. Lück, and generalize the L2 -Alexander invariant of a knot introduced by W. Li and W. Zhang in 2006. These torsions are topological invariants that are classes of maps on the positive real numbers. They only exist when certain technical conditions are satisfied, and they are hard to compute in general. Despite these difficulties, we are able to extract important information from thes invariants, like the simplicial volume of the manifold or the Thurston norm. In this thesis, we prove that the L2-Alexander invariant of knots detects the trivial knot. We also prove a Dehn surgery formula for the L2-Alexander torsions. Similarly, using various techniques, we compute explicitly the torsions of exteriors of torus links in die 3-sphere and in die solid torus, which leads us to prove general formulas for connected sums and cablings of links.
Abstract FR:
Cette thèse présente plusieurs propriétés, des valeurs explicites et des techniques de calcul des torsions d'Alexander L2 des variétés de dimension 3 compactes à bord vide ou torique, notamment des extérieurs de noeuds et d'entrelacs. Les torsions d'Alexander L2 sont des généralisations des polynômes d'Alexander tordus, où le complexe de chaînes cellulaires du revêtement universel de la variété est tordu par une représentation du groupe fondamental de la variété sur l'espace des opérateurs d'un espace de Hilbert de dimension infinie. Les torsions d'Alexander L2 des 3-variétés ont été définies en 2014 par J. Dubois, S. Friedl et W. Lück, et généralisent l'invariant d'Alexander L2 des noeuds introduit par W. Li et W Zhang en 2006. Ces torsions sont des invariants topologiques qui sont des classes de fonctions sur les réels strictement positifs. Elles existent uniquement lorsque certaines conditions techniques sont vérifiées, et sont difficiles à calculer en général. Malgré tout, nous pouvons extraire d'importantes informations de ces invariants, comme le volume simplicial de la variété ou la norme de Thurston. Dans cette thèse, nous démontrons que l'invariant d'Alexander L2 des noeuds détecte le noeud trivial. Nous démontrons également une formule de chirurgie de Dehn pour les torsions d'Alexander L2. De même, par diverses techniques, nous calculons explicitement les torsions des extérieurs d'entrelacs toriques dans la sphère S3 et le tore solide, ce qui nous permet de démontrer des formules générales de sommes connexes et de câblages pour les entrelacs.