Représentations des super-algèbres affines quantiques
Institution:
Sorbonne Paris CitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to the study of the quantum affine superalgebra associated with the general linear Lie superalgebra and of its representations (finite-dimensional or infinite-dimensional). We establish a trianguler decomposition and a Poincaré-Birkhoff-Witt type theorem for this superalgebra. We propose a definition of Weyl modules in the spirit of Chari-Pressley, and we show that they are always finite-dimensional and non-zero. As a consequence, we obtain a highest weight classification of finite-dimensional simple representations. Our next step is to study in detail the tensor product structure of simple representations. We use the RTT realization of this quantum affine superalgebra, due to Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan, to establish a cyclicity result on certain tensor products of Kirillov-Reshetikhin modules. Following Hernandez-Jimbo, we apply the cyclicity result of the second step to construct inductive systems of Kirillov-Reshetikhin modules. We realize their inductive limits as modules over the upper Borel subalgebra, extending the asymptotic construction of Hernandez-Jimbo to the super case. Then we propose a new asymptotic construction to a module structure over the full quantum affine superalgebra on the inductive limits of the same inductive systems.
Abstract FR:
Cette thèse est consacrée à l'étude de la super-algèbre affine quantique associée à la super-algèbre de Lie de type A et de ses représentations (de dimension finie ou non). Nous établissons pour cette super-algèbre une décomposition triangulaire et un théorème de type Poincaré-Birkhoff-Witt. Nous proposons une définition de modules de Weyl dans l'esprit de Chari-Pressley et démontrons qu'ils sont toujours de dimension finie et non-nuls. Comme conséquence, nous en déduisons une classification des représentations simples de dimension finie en termes des plus hauts poids. La deuxième partie consiste en une étude détaillée de la structure des produits tensoriels des représentations simples. Nous établissons un résultat sur la cyclicité de certains produits tensoriels de modules de Kirillov-Reshetikhin, en utilisant notamment une réalisation de type RTT pour la super-algèbre quantique due à Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan. Dans l'esprit des travaux de Hernandez-Jimbo, nous construisons des systèmes inductifs de modules de Kirillov-Reshetikhin à partir du résultat de cyclicité. Nous munissons leurs limites inductives d'une structure de module sur la sous-algèbre de Borel supérieure, généralisant ainsi la construction asymptotique de Hernandez-Jimbo dans le cas "super". Puis nous proposons une nouvelle construction asymptotique nous permettant de donner une structure de modules pour la super-algèbre affine quantique entière, dépendant d'un paramètre additionnel, aux limites inductives des mêmes systèmes inductifs.