Unicité de Cauchy pour des équations aux dérivées partielles analytiques ou C∞ : conditions nécessaires et conditions suffisantes
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Necessary conditions and sufficient conditions for the uniqueness in the Cauchy problem are given here in the case of analytic or C∞ partial differential equations. For an equation (E) near xO ε Rn and a time function, we attempt to characterize the following property : for any pair u1, u2 of solutions of (E), u1=u2 in the past implies u1=u2 in the future (locally: u1 and u2 are germs at xO). We bring up a detailed study of first order linear equations where structure conditions, suggested by the definition of Hörmander’s principally normal operators, are discussed, and results extending Hörmander’s notion of pseudo-convexity for different classes of linear equations: characteristic analytic equations (in that framework, nonlinear first-order equations are also treated), first order (C∞) equations, second order equations of real principal type, principally normal equations of biprincipal type. In the proofs, our tools are traditional Carleman inequalities and geometrical optics mixed with analytic Cauchy problem techniques and ideas from other domains of analysis.
Abstract FR:
Nous donnons dans cette thèse des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour l’unicité de la solution du problème de Cauchy dans le cas d’équations aux dérivées partielles analytiques ou C∞. Etant données une équation (E) près de xO ε Rn et une fonction temps, nous cherchons à caractériser la propriété suivante : pour toute paire u1, u2 de solutions de (E), u1=u2 dans le passé implique u1=u2 dans le futur (localement : u1 et u2 sont des germes en xO). Outre une étude détaillée des équations linéaires du premier ordre pour lesquelles nous discutons les conditions de structure suggérées par la définition des opérateurs principalement normaux de Hörmander, nous présentons des résultats étendant la notion de pseudo-convexité de Hörmander pour différentes classes d’équations linéaires : équations analytiques caractéristiques (dans ce cadre, nous étudions aussi l’équation non linéaire du premier ordre), équations (C∞) du premier ordre, équations du deuxième ordre du type principal réel, équations principalement normales de type biprincipal. Aux méthodes traditionnelles que sont les inégalités de Carleman et l’optique géométrique, nous avons joint dans nos démonstrations des techniques issues du problème de Cauchy analytique ainsi que des idées provenant d’autres domaines de l’analyse.