The Broué-Malle-Rouquier conjecture for the exceptional groups of rank 2
Institution:
Sorbonne Paris CitéDisciplines:
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Abstract EN:
Between 1994 and 1998, the work of M. Broué. G. Malle, and R. Rouquier generalized in a natural way the definition of the Hecke algebra associated to a finite Coxeter group, for the case of an arbitrary complex relleetion group. Attempting to also generalize the properties of the Coxeter case, they stated a number of conjectures concerning these Hecke algebras. One specific example of importance regarding those yet unsolved conjectures is the so-called BMR freeness conjecture. This conjecture is known to be true apart from 17 cases, that are almost aIl the exceptional groups of rank 2. These exceptional groups of rank 2 fall in to three familles : The tetrahedral, octahedral and icosahcdral family. We prove the validity of the BMR freeness conjecture for the exceptional groups belonging to the first Iwo families, using a case-by-case analysis and we give a vice description of the hasis, similar to the classical case of the finite Coxeter groups. We also give a new consequence of this conjecture, by obtaining the classification of irreducible representations of the braid group on 3 strands in dimension at most 5, recovering results of Tuba and Wenzl.
Abstract FR:
Entre 1994 et 1998, M. Broué, G. Malle et R. Rouquier ont généralisé aux groupes de réflexions complexes la définition naturelle des algèbres de Hecke associées aux groupes de Coxeter finis. Dans la tentative de généraliser certaines propriétés de ces algèbres, ils ont annoncé des conjectures parmi lesquelle la conjecture importante de liberté de BMR. Il est connu que cette dernière conjecture est vraie à l'exception de 17 cas qui concernent les groupes exceptionnels de rang 2. Ces derniers se plongent dans 3 familles : tétraédrale, octaédrale et icosaédrale. Nous prouvons que la conjecture de liberté de BMR est vraie pour les groupes exceptionnels appartenant aux deux premières familles en utilisant un raisonnement cas par cas et en donnant une jolie description de la base, ce qui est similaire au cas classique d'un groupe de Coxeter fini. Nous donnons aussi une nouvelle conséquence de cette conjecture qui est l'obtention de la classification des représentations irréductibles du groupe de tresses à 3 brins de dimension au plus 5, retrouvant ainsi des résultats de Tuba et Wenzl.