Algèbres moyennables
Institution:
Sorbonne Paris CitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Introduced by Von Neumann in 1929, amenability has taken an important place in current mathematics. Initially formulated for groups, it admits characterizations in many areas, whose Folner's condition is one of most classic. In the thesis, we define, and study, a new notion of amenability for algebras, based on this Folner's condition. The structure of algebras is rich, and we start with proving many structural results (stability results especially), and we then use these tools through the study of two examples : path algebras (over a directed graph), and semisimple algebras. In each case, we obtain elegant characterizations for Folner's condition and amenability, which illustrate the differences between the two notions. Next, we corne back to group algebras, with the central question of the link between the amenability of a group and that of its group algebra, and, even if this problem is still open in general case, we give some partial answers. Especially, we consider a result of Ornstein-Weiss, concerning paving properties in an amenable group, and we show, for example, that soluble groups are algebraically amenable. Finally, in annexes, we recall some essential definitions (ultrafilter, paradoxical decompositions), and we expose several results, related to amenable algebras, which have not found their place in the main text of the thesis.
Abstract FR:
Introduite en 1929 par Von Neumann, la moyennabilité a pris une place importante dans les mathématiques actuelles. Initialement formulée pour les groupes, elle admet des caractérisations dans de nombreux domaines, dont la condition de Folner est l'une des plus classiques. Dans la thèse, on définit, et étudie, une nouvelle notion de moyennabilité pour les algèbres, basée sur cette condition de Folner. La structure des algèbres est riche, et l'on commence par établir de nombreux résultats structurels (de stabilité notamment), que l'on met ensuite en oeuvre au travers l'étude de deux exemples : les algèbres de chemins (sur un graphe orienté), et les algèbres semi-simples. Dans chacun des cas, on obtient des caractérisations élégantes pour la condition de Folner et la moyennabilité, qui permettent d'illustrer les différences entre les deux notions. On revient ensuite au cas des algèbres de groupe, avec la question centrale du lien entre la moyennabilité d'un groupe et celle de son algèbre de groupe, et, si le problème reste ouvert en général, on donne des réponses partielles. En particulier, on s'intéresse à un résultat d'Ornstein-Weiss, concernant des propriétés de pavage dans un groupe moyennable, et l'on obtient, par exemple, que les groupes résolubles ont bien leur algèbre de groupe moyennable. Enfin, dans les annexes, on rappelle plusieurs définitions essentielles (ultrafiltes, décompositions paradoxales), et l'on expose différentes pistes et résultats, en lien avec les algèbres moyennables, mais qui n'ont pas trouvé pleinement leur place dans le corps de la thèse.