Répartition des entiers friables dans les progressions arithmétiques et applications
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
An integer is said tb be y-friable if all its prime factors are less than or equal to y. They are ubiquitous in analytic number theory. In this thesis we study their repartition in arithmetic progressions, which allows us to study more specific properties. This allows us to study the number of solutions to the equation a+b=c in friable numbers, at first assuming a generalization of the Riemann Hypothesis, then unconditionally. That makes use of the circle method to reduce die problem to die estimation of certain exponential sums, which are then evaluated using die saddle point method. In the second part, we study some multiplicative properties of shiftes friable integers, of the shape n-1 with n a friable integer : the mean value of some arithmetical functions, the statistical behaviour of the number of their divisors, and the average number of their prime factors. These applications rely on studying die equirepartition on average of friable numbers, and theorems of Bombieri-Vinogradov type. The study of the average number of prime factors of n-1 (n: friable integer) needs a more involved study, and relies on the dispersion method and bounds for Kloosterman sums.
Abstract FR:
Un entier est dit y-friable si tous ses facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à y. Ils interviennent dans divers domaines de la théorie analytique des nombres. Cette thèse est portée sur l'étude de leur répartition dans les progressions arithmétiques, qui permet d'étudier des propriétés plus fines. Une première application est proposée au comptage des solutions de l'équation a+b=c en entiers friables, d'abord sous l'hypothèse de Riemann généralisée, puis inconditionnellement. Cela fait usage de la méthode du cercle pour ramener cela à l'estimation de sommes d'exponentielles, qui sont évaluées par la méthode du col. Ensuite sont étudiées quelques propriétés multiplicatives des entiers friables translatés, de la forme n-1 avec n entier friable : la valeur moyenne de certaines fonctions arithmétiques, le comportement statistique du nombre de leurs diviseurs, puis leur nombre moyen de facteurs premiers. Ces applications reposent sur des résultats d'équirépartition en moyenne de type Bombieri-Vinogradov. L'étude du nombre moyen de facteurs premiers, qui nécessite des calculs plus élaborés, est du ressort de la méthode de dispersion et fait appel à des majorations de sommes de Kloosterman.