Classes de Chern sur les espaces tordus
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Abstract EN:
In this thesis, we define Chern classer of fiber bundles over real algebraic manifolds having no real point. We begin by defining the category of twisted spaces, which objects are locally ringed spaces, endowed with, as structure sheaf a sheaf locally isomorphic to the sheaf of continuous complex-valued functions over the underlying topological space. We show that one can identify such a twisted space to the quotient of a topological space under a free action of a Galois’ group G, containing two elements. The set of all complex points of a real algebraic variety X having no real point is naturally endowed with such an action. Hence, one can identify the associated twisted space with the set of closed points of the scheme X. Then, we define twisted vector bundles in two equivalent waysa quotients of vector bundles, and sheaves over twisted spaces. We give a construction of Chern classes from the point of view of differential and analytic geometries, considering twisted spaces having one of the former structures. These constructions allow us to show a twisted version of the de Rham theorem. In this context, Chern classes are twisted de Rham cohomology classes. We generalize the notion of orientability to twisted vector bundles, in order to extend the notions of Thom, Euler and Chern classes. The latter are classes belonging to twisted integral cohomology groups, and can be seen as a refinement of the Chern classes in the differential or analytic context. We establish some of their fundamental properties, and apply the results studying real projective spaces having no real point.
Abstract FR:
Dans cette thèse, on se propose de définir les classes de Chern de fibrés vectoriels réels au-dessus de variétés algébriques réelles sans point réel. On construit d’abord la catégorie des espaces tordus, dont les objets sont des espaces localement annelés, dont le faisceau structural est localement isomorphe au faisceau des fonctions continues à valeurs complexes sur l’espace topologique sous-jacent. On montre qu’on peut identifier un tel espace tordu au quotient d’un espace topologique par une action libre d’un groupe (de Galois) G à deux éléments. L’ensemble des points complexes d’une variété algébrique réelle X sans point réel est naturellement muni d’une telle action ; en un sens, l’espace tordu associé s’identifie à l’ensemble des points fermés du schéma X. On définit des fibrés vectoriels tordus en les réalisant, soit comme quotients de fibrés vectoriels, soit comme faisceaux au-dessus d’espaces tordus. On construit ensuite les classes de Chern du point de vue de la géométrie différentielle ou analytique, en considérant les espaces tordus ayant une telle structure. On donne une version tordue du théorème de de Rham. Les classes de Chern sont alors des classes de cohomologie de de Rham tordues. On généralise la notion d’orientabilité aux fibrés vectoriels tordus, ce qui permet de généraliser les notions de classe de Thom, d’Euler et de Chern. Ces dernières sont des classes appartenant à des groupes de cohomologie à coefficients entiers tordus, et constituent donc un raffinement de celles définies précédemment. On établit alors leurs propriétés fondamentales. On applique ces résultats en géométrie algébrique réelle en étudiant les espaces projectifs réels sans point réel.