Abstract FR:

On étudie l'existence de solutions élémentaires globales pour des opérateurs différentiels linéaires bi-invariants sur le produit g: h x k, ou h et k sont deux groupes de Lie, k compact. En utilisant la transformation de Fourier partielle sur k, on montre qu'un opérateur p, bi-invariant sur g admet une solution élémentaire sur u x k (u ouvert de h) si et seulement si ses coefficients de Fourier partiels admettent chacun une solution élémentaire sur u et satisfont a une condition de croissance lente. On en déduit une condition nécessaire explicite d'existence d'une solution globale de p sur g. On donne également une condition suffisante d'existence d'une solution élémentaire de p sur g dans le cas ou h est résoluble simplement connexe. On montre en effet, par la méthode de F. Rouvière, basée sur des inégalités l**(2), qu'un opérateur différentiel satisfaisant cette condition admet une solution élémentaire sur tout ouvert relativement compact de g. On en déduit alors l'existence d'une solution élémentaire de p sur g grâce a la notion de p-convexité qui permet d'obtenir des solutions globales a partir de solutions semi-globales. On démontre aussi l'existence d'une solution élémentaire globale pour tout operateur bi-invariant non nul sur un groupe de lie résoluble simplement connexe