thesis

Existence locale et effet régularisant précisés pour des équations de type Schrödinger

Defense date:

Jan. 1, 2014

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Institution:

Nantes

Disciplines:

Mathematics

Authors:

Directors:

Abstract EN:

In this paper, we consider the Cauchy problem in the usual Sobolev spaces for some nonlinear equations of the form [Formule non transposable] : that is, equations which are of Schrödinger type. We study the local existence and the smoothing effect of the solutions, following C. E. Kenig, G. Ponce and L. Vega, and extend some of their results. The nonlinearity F is a smooth function which vanishes to the 3rd order at 0 and the operator L has the form [Formule non transposable] : It extends the Laplace operator but is not elliptic in general. We prove the local existence, the uniqueness and the smoothing effect given any [Formule non transposable] : The proof follows the same plan as that of C. E. Kenig, G. Ponce and L. Vega, Inventiones Matematicae, 1998. We improve the estimates by using the paradifferential calculus of J. -M. Bony.

Abstract FR:

Dans cette thèse, on considère le problème de Cauchy dans les espaces de Sobolev habituels et dans des espaces de Sobolev à poids pour des équations non linéaires de la forme [Formule non transposable] : Ces équations sont de la forme des équations de Schrödinger. Nous étudions l’existence locale et l’effet régularisant vérifié par les solutions, pour cela nous suivons une méthode employée par C. E. Kenig, G. Ponce et L. Vega, et nous généralisons et précisons certains de leurs résultats. La non linéarité est un fonction régulière nulle à l’ordre 2 en 0 et l’opérateur [Formule non transposable] : Cet opérateur généralise le Laplacien mais n’est plus elliptique. Dans le cas où F est nulle à l’ordre 3 en 0, nous prouvons l’existence locale, l’unicité ainsi qu’un effet régularisant pour une donnée initiale dans [Formule non transposable] : Dans le cas où F est nulle à l’ordre 2 en 0, nous prouvons le même résultat mais pour une donnée initiale dans des espaces de Sobolev à poids. Le plan de démonstration reprend celui de C. E. KENIG, G. PO?CE et L. VEGA.