Abstract FR:

Les ondelettes sont des fonctions oscillantes de moyenne nulle, qui essayent de réaliser le meilleur compromis entre les localisations spatiale et fréquentielle. Cette propriété permet de caractériser et de représenter de manière économique les fonctions comportant des singularités isolées ainsi que certains opérateurs, en particulier les opérateurs de Calderon-Zygmund. On peut ainsi envisager de calculer rapidement l'action d'un opérateur sur une fonction en utilisant des bases d'ondelettes. Dans cette perspective, nous développons une méthode de stockage et des algorithmes adaptés aux matrices creuses, permettant d'effectuer rapidement des produits matrice-vecteur et des produits matrice-matrice ; nous les optimisons ensuite dans le cas des opérateurs invariants par translation. Pour les opérateurs deux méthodes de décompositions en ondelettes sont possibles, la méthode standard et la méthode non standard ; nous les comparons en les appliquant a la résolution de deux problèmes d'évolution, l'équation de la chaleur et l'équation de transport. Les résultats numériques donnent pour les deux équations des temps de calcul plus faibles pour la méthode standard car elle seule permet de prendre en compte la compression de la solution. La méthode standard est ensuite étendue à la dimension deux à l'aide d'une technique de directions alternées. Ceci nous permet de définir et d'utiliser un schéma pseudo-ondelettes pour résoudre les équations de Navier-Stokes incompressibles dans la formulation vorticité/fonction de courant. Le terme non-linéaire de l'équation est traité par une technique de collocation. Le nombre de degrés de liberté nécessaires dans la méthode pseudo-ondelettes est, a précision égale, nettement inferieur à celui des méthodes de différences finies ou des méthodes spectrales. Ceci permet d'envisager, à puissance de calcul égale, la résolution de problèmes présentant une gamme d'échelles largement plus grande que celle des méthodes classiques