Sur la stabilité de certaines surfaces minimales sous le flot de courbure moyenne nulle dans l'espace de Minkowski
Institution:
Paris EstDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis focuses on the stability of some minimal surfaces under the vanishing mean curvature flow in Minkowski space. This issue amounts to investigate a system which turns out to be hyperbolic as long as the involved surfaces are time-like surfaces.The work presented here includes two parts. The first part in joint work with Hajer Bahouri and Galina Perelman is dedicated to the issue of singularity formation in finite time for surfaces asymptotic to the Simons cone at infinity and the second part is devoted to the study of the stability of the helicoid.In the first part of this thesis, we prove by a constructive approach the existence of a family of surfaces which evolve by the vanishing mean curvature flow in Minkowski space and which as t tends to~0 blow up towards a surface which behaves like the Simons cone at infinity. This issue amounts to investigate the singularity formation for a second order quasilinear wave equation.The aim of the second part is to investigate the stability of the helicoid under normal radial perturbations. Actually, the helicoid is linearly unstable of index 1, and that is why we cannot expect to have stability for arbitrary perturbations. In this part, we establish that this instability is the only obstruction to the global nonlinear stability for the helicoid. More precisely, in the framework of normal radial perturbations, we prove the existence of a codimension one set of small initial data generating global solutions converging to the helicoid at infinity.
Abstract FR:
Cette thèse porte sur la question de stabilité de certaines surfaces minimales évoluant sous le flot de courbure moyenne nulle dans l'espace de Minkowski. Cette problématique conduit à l'étude d'un système d'équations qui s'avère d'être hyperbolique sous la condition que les surfaces en question restent de type temps.Le travail qu'on présente ici se compose de deux parties. La première partie est liée à la formation de singularités en temps fini pour des surfaces asymptotiques au cône de Simons à l'infini et la seconde partie est consacrée à la stabilité de l'hélicoïde.Dans la première partie de cette thèse, on montre en collaboration avec Hajer Bahouri et Galina Perelman par une approche constructive l'existence d'une famille de surfaces évoluant par le flot de courbure moyenne nulle dans l'espace de Minkowski qui explose lorsque t tend vers 0 vers une surface qui se comporte comme le cône de Simons à l'infini. Ce problème revient à étudier les phénomènes d'explosion pour une équation d'ondes quasi linéaire du second ordre.L'objectif de la seconde partie est d’étudier la stabilité de l'hélicoïde soumise à des perturbations radiales normales. En fait, l'hélicoïde est linéairement instable d'indice 1 et c'est pourquoi on ne peut s'attendre à un résultat de stabilité pour des perturbations arbitraires. Nous montrons dans cette partie que cette instabilité est la seule obstruction pour la stabilité non linéaire globale de l'hélicoïde. Plus précisément, en se plaçant dans le cadre des perturbations radiales normales, on a démontré l'existence d'une variété de codimension 1 constituée de données initiales générant des solutions globales convergeant vers l'hélicoïde à l'infini.