thesis

Images directes en cohomologie cohérente

Defense date:

Jan. 1, 1986

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Institution:

Paris 11

Disciplines:

Mathematics

Authors:

Directors:

Abstract EN:

Let S be an affine scheme, f: X → S a morphism of finite type and F a coherent OX-module. When f is proper and F is flat over S , Rf. F is a perfect complex (A. Grothendieck). Conversely we show that, any perfect complex L. Of Os-modules is of the form R. F*, where f:IPn → S and F is opn-module locally free (cf. 1st article with L. Szpiro). When f is quasi-projectif, F flat over S, when Rif*F is an Os -module of finite type for i≤p , where p is a fixed integer, we show, when F satisfies some conditions on depth, that there exists a perfect complex L. Over S , a morphism L. → R. F*F which induces an isomorphism on the cohomology in degrees ≤ P The construction of L. Is obtained by showing that Rf*F is a direct limit of a family of perfect complexes, the troncated complexes in degree form an essentially constant family. For that, we have to consider the categories of Ind-objects "lim"Lα. And by duality of pro-objects "lim"Kα.

Abstract FR:

Soient S un schéma affine noethérien, f : X → S un morphisme de type fini et F un OX-module cohérent. Lorsque f est propre, F est plat sur S, Rf*. F est un complexe parfait (A. Grothendieck). On montre qu’inversement tout complexe parfait L. Sur S est de la forme , Rf*. F, où f : Pn → S et F est un OPn-module localement libre (cf. 1er article en collaboration avec L. Szpiro). Lorsque f est quasi-projectif, F plat sur S, lorsque Rif*(F) est un Os-module de type fini pour i ≤ p, où p est un entier fixé à l’avance, on montre que, lorsque F satisfait à certaines conditions de profondeur, il existe un complexe parfait L sur S, une flèche L. → R. F*F qui induit un isomorphisme sur la cohomologie en degré ≤ p. La construction de L. S’obtient en montrant que Rf*. F est limite inductive d’une famille de complexes parfaits dont les tronqués en degré ≤ p forment une famille essentiellement constante. Ceci amène à considérer les catégories d’Ind-objets « lim » L. D et par dualité des pro-objets « lim » Kα.