Abstract FR:

Cette thèse est consacrée à la réductibilité et à la presque-réductibilité des cocycles quasi-périodiques, qui sont les solutions fondamentales de systèmes différentiels linéaires à coefficients quasi-périodiques. On introduit une notion de conjugaison, au sens des cocycles, par une transformation quasi-périodique; les quantités invariantes par ce type de conjugaison sont appelés invariants dynamiques. Le caractère réductible d'un cocycle permet de connaître très bien ses invariants dynamiques, tels que les exposants de Lyapunov qui indiquent le comprtement asymptotique des solutions du système, et en dimension 2, le nombre de rotation qui donne leur rotation moyenne autour de l'origine. La presque réductibilité permet de connaître assez bien ces invariants sur un temps arbitrairement long. On définit la réductibilité d' un cocycle dans un groupe de Lie linéaire G modulo 1 ou 2 comme étant la possibilité de réduire ce cocycle par une transformation à valeurs dans G et définie soit sur le tore, soit sur un revêtement du tore; on montre par une méthode géométrique qu' un cocycle réductible dans le groupe des matrices inversibles et à valeurs dans G est réductible dans G modulo 1 si G est complexe et modulo 2 si G est réel. La deuxième partie porte sur la notion de presque réductibilité, c1 est-à-dire la possibilité de conjuguer un cocycle à un autre qui est arbitrairement proche d' un cocycle réductible, dans une topologie fixée. On démontre un résultat perturbatif de presque-réductibilité des cocycles analytiques à fréquence diophantienne proches d' un cocycle constant et qui sont à valeurs dans le groupe sympleçtique. La presque-réductibilité est obtenue dans F espace des fonctions analytiques sur un voisinage fixe du tore. Avec un seul doublement de période, par une méthode de type KAM quantifiant la fréquence de F apparition de petits diviseurs, ou résonances. Un corollaire en est la quasi-densité, dans cette topologie, des cocycles réductibles au voisinage d' un cocycle constant.