Foncteurs homologiques pour les algèbres localement convexes et l'isomorphisme de THOM
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We prove that in the presence of an absorbing homomorphism, all quasihomomorphisms can be represented in a very simple form, Based on this fact, we give a new construction of Kasparov products for C*-algebras using Kasparov's theorem of Voiculescu. Next, we develop a framework of locally convex Kasparov modules, and use it to prove generalisations of classical theorems for the class of split exact functors on the category of locally convex algebras, such as Bott periodicity and the Thom isomorphism. The approach is based on the fact that split exact functors are functorial for the class of modules we induce, and the induction process is compatible with Kasparov-like products. Along the way we prove that algebraic K-theory acts on a large class of functors. Finally, we give a different proof for a Thom isomorphism for the class of functors which are half exact with respect to the class of linearly split extensions, stable and diffotopy invariant. This is based on a proof using only formal properties of the theory kk developed by J. Cuntz.
Abstract FR:
On montre qu'en présence d'un morphisme absorbant tout quasi-homomorphisme peut être représenté d'une façon très simple. En utilisant cette propriété, on donne une construction du produit de Kasparov pour les C*-algèbres basée sur le théorème de Kasparov de Voiculescu. Dans la suite, on développe une théorie des modules de Kasparov localement convexes, qu'on utilise pour démontrer des théorèmes connus dans le cadre classique pour la classe des foncteurs split-exacts sur la catégorie des algèbres localement convexes, tel que la périodicité de Bott et l'isomorphisme de Thom. Cette approche s'appuie sur le fait que les foncteurs split-exacts sont fonctoriels pour la classe de modules qu'on introduit, et que le processus d'induction est compatible avec des produits similaires au produits de Kasparov. On montre aussi que la K-théorie agit sur une grande classe d'algèbres. Enfin, on donne une preuve simple d'un isomorphisme de Thom pour la classe des foncteurs demi-exacts par rapport à la classe des extensions linéairement scindées, stables et invariantes par difféotopie. Cette preuve utilise seulement les propriétés formelles de la théorie kk de J. Cuntz.