Unrelèvement d'une structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky sur la double construction cobar
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NantesDisciplines:
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Abstract EN:
In a first part we establish structural results on the cobar construction. The goal is to obtain a homotopy BV-algebra structure on the double cobar construction. In summary we have a criterion for obtaining of a homotopy BV-algebra (à la Gerstenhaber-Voronov) on the double cobar construction W2C of homotopy G-coalgebra C. This involves the structural co-operations of the homotopy G-coalgebra C. In a second part, we apply the previous criterion to the homotopy G-coalgebra C (X). The homotopy G-coalgebra structure on the simplicial chain complex C (X) is such that the resulting double cobar construction W2C (X) is a model for the double loop space W2jXj. Next, we give comparison results between the BV-algebra structure obtained on W2C (X) when X is a double suspension and the BV-algebra structure on H (W2jXj) given by the diagonal action of the circle. Finally, when Q is the coefficient ring, we deform the Hopf dg-algebra structure on the Baues cobar construction WC (X) into a involutive Hopf dg-algebra structure (r0 , S0). Then we obtain a homotopy BV-algebra structure on the double cobar construction W(WC (X),r0 , S0) for any simplicial set X.
Abstract FR:
Dans une première partie, on établit des résultats structuraux sur la construction cobar, visant à obtenir un relèvement homotopique explicite d’une structure de BV-algèbre sur la double construction cobar. Ces résultats interviennent à différentes itérations de la construction cobar. En conclusion, nous obtenons par descente de structures, un critère à l’obtention d’une structure de BV-algèbre homotopique (à la Gerstenhaber-Voronov) sur la double construction cobar W2C d’une G-cogèbre homotopique C, ceci en terme de co-opérations structurelles de C. Dans une seconde partie, nous appliquons le critère précédent sur la G-cogèbre homotopique C (X), où C (X) est le complexe de chaînes simpliciales sur un ensemble simplicial X. La structure de G-cogèbre homotopique considérée sur C (X) est telle que la double construction cobar W2C (X) est un modèle pour les lacets doubles W2jXj. Nous donnons ensuite des résultats de comparaisons entre la structure d’algèbre de Batalin-Vilkovisky obtenue sur la doubles construction cobar W2C (X) lorsque X est une double suspension et celle sur H (W2jXj) induite par l’action diagonale du cercle sur W2jXj. Pour finir, lorsque l’anneau des coefficients est Q, nous déformons la structure de dg-algèbre de Hopf sur la construction cobar de Baues WC (X) en une structure de dg-algèbre de Hopf involutive (r0 , S0). On obtient alors une structure de BV-algèbre homotopique sur la double construction cobar W(WC (X),r0 , S0) pour tout ensemble simplicial X.