Abstract FR:

La première partie étudie, pour une non-linéarité cubique (p = 4) le cas du tore plat générique. La platitude du tore fait que l’on considère des séries de Fourier, l’étude consistant alors à compter les valeurs propres du Laplacien. Ce comptage peut se faire de plusieurs façons, Son argument s’adapte parfaitement en dimension d _ 3 : si d est pair on prouve que s0 = (d / 2)=2 et si d est impair, on a alors une perte ie s0 _ (d / 2)=2 + 1=(d + 1). En dimension 2, on préfère s’intéresser au côté géométrique de la question puisque la question du comptage des valeurs propres se ramène à un comptage de points à coordonnées entières sur, ou entre, certaines surfaces. La deuxième partie étudie le cas du tore de révolution. Ici, après avoir décomposé dans une direction en série de Fourier, on décompose dans l’autre direction, en série de Hermite. On établit alors que contrairement aux exponentielles trigonométriques du tore plat, les fonctions propres ont de grandes normes Lq.