Formation de motifs dans une énergie de Cahn-Hilliard non locale
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Nous étudions le comportement asymptotique d'une énergie de Cahn-Hilliard non locale, souvent appelée énergie d'Ohta-Kawasaki dans le contexte des ``copolymères di-bloc". Dans ce modèle, deuxphases apparaissent, et interagissent par l'intermédiaire d'une énergie de type coulombienne non locale. Nous nous concentrons surle régime où l'une des phases occupe une très petite fraction du volume, ce qui crée des ``gouttelettes" de cette phase dans une mer de l'autre phase. Nous calculonsla Gamma-limite de l'ordre principal de l'énergie et obtenons ainsi de l'information en moyenne sur le comportement des ``presque minimiseurs", à savoir que la densité de la phase minoritaire forme des gouttelettes qui sont presque sphériques de même rayon, et uniformément distribuées dans tout le domaine. Nous obtenons ensuite une Gamma-limite de l'énergie à l'ordre suivant, qui détermine l'agencement géométrique des gouttelettes. Sans faire appel du tout à l'équation d'Euler -Lagrange, nous établissons que pour toutes les configurations d'énergie presque minimale, les goutelettes sont asymptotiquement sphériques et de rayon explicite, et qu'elles tendent asymptotiquement vers des points dont la répartition doit minimiser l'énergie limite, dans un sens moyenné; cela conduit à s'attendre à observer des réseaux triangulaires degouttelettes. En outre, nous montrons que la densité de gouttelettes des points stationnaires(non minimisants) de l'énergie est également aysmptotiquement uniforme, même en dimension \geq 2. Nous étudions également un problème isopérimétrique non-local dans \mathbb {R}^2. Nous montronsque les points critiques connexes sont uniquement déterminés par le périmètre, sous des hypothèses faibles sur leurfrontière, dans le régime de petite énergie/masse. Ces résultats diffèrent des résultats récents deJulin et Muratov-Knupfer en ce qu'ils concernent despointscritiques généraux plutôt que des minimiseurs globaux de l'énergie, ce qui en fait une extension non-localedu fait bien connu depuis Alexandrov, que les seules courbes connexes, compactes, de courbure constante dans le plansont des cercles. Notre méthode d\'emontre que nonseulement le périmètre domine la non-localité lorsqu'on minimise cette énergie, mais aussique la variation du périmètre dicte la variation du terme non-local dans ce régime.
Abstract FR:
We study the asymptotic behavior of a non-local Cahn-Hilliard energy, often referred to as the Ohta-Kawasakienergy in the context of di-block copolymer melts. In that model, twophases appear, and they interact via a non-local Coulombic type energy. We focus onthe regime where one of the phases has very small volume fraction, thus creating``droplets" of that phase in a sea of the other phase. We computethe Gamma-limit of the leading order energy and yield averaged information foralmost minimizers, namely that the density of the minority phase forms droplets which are almost spherical, with the same radii, and areuniformly distributed throughout the domain. We then derive a next order Gamma-limit energy which determines the geometricarrangement of the droplets. Without thus appealing at all to the Euler-Lagrange equation, we establish here for allconfigurations which have ``almost minimal energy," the asymptotic roundness andradius of the droplets, and the fact that they asymptoticallyshrink to points whose arrangement should minimize this energy, insome averaged sense; this leads to expecting to see triangular lattices ofdroplets. In addition, we prove that the density of droplets of a priori non-minimizing stationarypoints of the energy is also aysmptotically uniform even in dimensions \geq 2. We also study a non-local isoperimetric problem in \mathbb{R}^2 We showthat the connected critical points are determined by perimeter alone, under mild assumptions on theboundary, in the small energy/mass regime. These results differ from the recent results ofJulin and Muratov-Knupfer in that they concerngeneral critical points rather than global minimizers to the energy, making it a non-local extensionof the well known fact by Alexandrov that the only compact, connected, constant curvature curve in the planeis the circle. Our method demonstrates that notonly does the perimeter dominate the non-locality when minimizing this energy, but alsothat the change in perimeter slaves to the change of the non-local term in this scaling regime.