Dynamics of McMullen maps and Thurston-type theorems for rational maps with rotation domains
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Abstract EN:
The thesis mainly consists of two subjects : the first subject relates to the local connectivity of Julia sets for rational maps. We develop Yoccoz puzzle techniques to study McMullen maps and show that the boundary of the bassin of infinity is always a Jordan curve if the Julia set is not a Cantor set. This give a positive answer to a question of Devaney. We also show the Julia set of McMullen is locally connected except some special cases. The second concerns with Thurston's theory on characterization of rational maps. We establish a "decomposition theorem" : every branched covering with rotation domains can be decomposed along a stable multicurve into finitely many Siegel maps or Thurston maps, such that the combinatorics and rational realizations of these resulting maps essentially dominate the original one. As an application, we prove a Thurston type theorem for a class rational maps with Herman rings.
Abstract FR:
Cette thèse comporte essentiellement deux parties. La première concerne la connexité locale des ensembles de Julia des fractions rationnelles. Nous utilisons les puzzles de Yoccoz pour étudier les applications de McMullen et montrons que la frontière du bassin de l'infini est toujours une courbe de Jordan. Ceci donne une réponse positive à une question de Devaney. Nous montrons également que ces ensembles de Julia sont localement connexes sauf pour certains cas spéciaux. La deuxième partie concerne la théorie de Thurston sur une caractérisation des fractions rationnelles. Nous établissons un théorème de décomposition : tout revêtement ramifié ayant un domaine de rotation se décompose, suivant une multicourbe, en un nombre fini d'applications de Siegel et de Thurston, tel que les combinatoires et le problème de réalisation rationnelle de ces pièces décomposées dominent essentiellement ceux de l'application originale. En guise d'application, nous démontrons un théorème à la Thurston pour une classe de fractions rationnelles ayant des anneaux d'Herman.