Quelques problèmes concernant le comportement pour les grands temps des équations d'évolution dissipatives
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this work, we consider the long time behaviour of dissipative evolution equations. More precisely we study the existence of attracting sets such as attactors and inertial manifolds. In the first part, we describe a general method to construct inertial manifolds for a nonlinear parabolic equation. We obtain an existence theorem under the same type of assumptions as the methods that already exist. Our method is based on the resolution of a hyperbolic partial differentiai equation (the Sacker's equation) such that the graph of its solution is a positively invariant manifold. The second part is devoted to the existence of approximate inertial manifolds. These are substitute to inertial manifolds when their existence is not known. We prove in two cases (the reaction diffusion equation and the Cahn-Hilliard equation) the existence of an infinite family of approximate inertial manifolds with increasing order of approximation. Our method is general and can be applied to other equations. Finally, in the third part, we study a singular perturbation of the Cahn-Hilliard equation in space dimension one obtained by adding a second order derivative intime whose coefficient E is small. We prove the existence of attractors for the perturbed equation. Moreover, the Haussdorf semi distance from these attractors to the attractor of the unperturbed equation converges to zero when E goes to zero.
Abstract FR:
Dans ce travail, nous nous intéressons au comportement pour les grands temps des équations d'évolution dissipatives. Nous examinons plus particulièrement l'existence d'ensembles attractifs tels les attracteurs et les variétés inertielles. Dans la première partie, nous décrivons une nouvelle méthode de construction de variété inertielle pour une équation parabolique non linéaire. Nous obtenons un théorème d'existence nécessitant les mêmes hypothèses que les autres méthodes. Notre méthode est basée sur la résolution d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique (l'équation de Sacker) telle que le graphe de sa solution soit une variété positivement invariante. La deuxième partie est consacrée à l'existence de variétés inertielles approchées (VIA) qui sont un substitut aux variétés inertielles lorsque l'on ne sait pas si celles-ci existent. On montre dans deux cas (équations de réaction-diffusion et de Cahn-Hilliard) l'existence d'une famille infinie de VIA telle que l'ordre d'approximation soit de plus en plus grand. Notre méthode est générale et peut être adaptée à d'autres équations. Enfin dans la troisième partie. Nous étudions une perturbation singulière de l'équation de Cahn-Hilliard en dimension 1 obtenue en ajoutant une dérivée seconde en temps dont le coefficient ɛ est petit. Nous montrons l'existence d'un attracteur pour l'équation perturbée. De plus, la semi-distance de Haussdorf de cet attracteur à l'attracteur de l'équation de Cahn-Hilliard tend vers zéro lorsque ɛ tend vers zéro.