Abstract FR:

L'objet de cette thèse est l'étude de quelques problèmes de géométrie différentielle, dans les cadres complexe et presque complexe. Nous donnons d'abord des formules de type Bochner-Kodaira-Nakano pour des fibrés hermitiens au-dessus de variétés respectivement hermitiennes, presque kählériennes et presque complexes. Puis dans un deuxième temps, à l'aide d'une des formules précédentes, nous obtenons dans le cas complexe des estimées asymptotiques d'une partie du spectre de certains opérateurs différentiels : considérant une (1,1)-forme réelle fermée [alpha] (non nécessairement entière) sur une variété complexe compacte de dimension n, nous construisons une suite (indexée par k) de fibrés en droites hermitiens dont les formes de courbure approchent k[alpha]. Les estimées asymptotiques portent sur le bas du spectre des laplaciens antiholomorphes associés aux fibrés, et la plus significative fait intervenir l'intégrale de [alpha]n au-dessus des points d'indice 0 ou 1 de la variété. Elle n'est pertinente qe si cette dernière intégrale est strictement positive.