Abstract FR:

Considérons une nilvariété graduée munie d'une métrique riemannienne (resp. Sous-riemanienne), on relève la métrique sur le revêtement universel, on obtient ainsi une distance qui à son tour définit des boules. Sur ces boules on peut étudier le laplacien (resp. Un sous-laplacien). On se concentre sur son spectre pour le problème de Dirichlet. On décrit, en utilisant les outils de l'homogénéisation, le comportement asymptotique des valeurs propres quand le rayon des boules tend vers l'infini. On obtient également une minoration du volume asymptotique des boules faisant intervenir le tore d'Albanèse. Dans le cas particulier des tores, on étudie aussi le spectre de Neumann et on caractérise les tores plats grâce à l'asymptotique de la première valeur propre du laplacien pour le problème de Dirichlet. On explore aussi le cas des groupes de Heisenberg.