Définissabilité dans les structures C-minimales
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is a contribution to the study of definable sets in C-minimal structures. In chapter 1, an exposition of fundamental properties of C-minimal structures is given. Chapter 2 is devoted to a revision of Haskell and Macpherson's work, who proved a cell decomposition theorem for C-minimal structures together with the well-behavior of topological dimension for definabie sets. A variant of the definition of 1-cells is provided together with separation of proofs about continuity of definable functions and the well-behavior of topological dimension. Chapter 3 splits in four parts. In section 1, the study of definable functions is further developed. In particular, we consider definable locally constant functions from M to its canonical tree T. As corollaries we finc applications to algebraically closed valued fields and a description of definabie subsets of T in one variable, the latter being the content of section 2. In section 3, we examine 1-types over models. Some partial results on omitting types and orthogonality are provided. Finally, section 4 is a joint work with Françoise Delon. We study externally definable sets in algebraically closed fields of residue characteristic 0 (which are in particular C -minimal). We characterize those elementary pairs of algebraically closed valued fields of residue characteristic 0 (M,N) such that if ail 1-types over M realized in N are definable then ail types over M realized in N are definabie.
Abstract FR:
Cette thèse porte sur les ensembles définissables dans les structures C-minimales, une notion de minimalité introduite par Haskell, Macpherson et Steinhorn. Dans le chapitre 1, on expose des propriétés fondamentales des structures C-minimales. Le chapitre 2 est un complément au travail de Haskell-Macpherson, qui ont démontré un théorème de décomposition cellulaire et le bon comportement de la dimension topologique sur les ensembles définissables. Une définition alternative des 1-cellules est introduite et une séparation entre la continuité des fonctions définissables et le bon-comportement de la dimension topologique est présentée. Le chapitre 3 se divise en quatre sections. Dans la section 1, on continue l'étude des fonctions définissables. En particulier, on considère les fonctions définissables localement constantes de M vers son arbre canonique T. Comme corollaires on obtient des applications au cas des corps valués algébriquement clos et, dans la section 2, une description des ensembles définissables de T à une variable libre. Dans la section 3, on examine l'espace des 1-types sur un modèle. Quelques résultats partiels sur l'omission des types et l'orthogonalité sont inclus. Finalement, la section 4 est un travail en collaboration avec Françoise Delon. On étudie les ensembles définissables à paramètres externes dans les corps valués algébriquement clos (caractéristique résiduelle 0). Nous caractérisons ici les paires de corps valués algébriquement clos de caractéristique résiduelle 0 (M, N) tels que si tout 1-type sur M réalisé dans N est définissable, alors tout type sur M réalisé dans N est définissable.