Construction de représentations supercuspidales des groupes spinoriels définis sur des corps p-adiques au moyen de types semi-simples
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis concerns the complex smooth representation theory of reductive p-adic groups Among them, supercuspidal representations play an eminent part because they are the building blocks for all the classification and convey an important arithmetical content ; nonetheless they are difficult to build and classify. Along the years the method of construction for those representations kept improving, in particular through the work of Bushnell and Kutzko in the nineties, under the name « theory of types ». This theory was later sharpened by Shaun Stevens who produced an exhaustive construction of supercuspidal representations of classical p-adic groups - orthogonal special, symplectic, unitary -- assuming the p-adic field has odd residual characteristic. We work here on p-adic Spin groups they are simply connected covers of special orthogonal groups, actually two-fold covers - in odd residual characteristic. This thesis provides a construction of supercuspidal representations of Spin groups which extends Shaun Stevens's construction for classical groups. The construction, as Stevens's, relies on the notions of semi-simple strata, semi-simple characters and semi-simple types. The thesis turns next to the problem of exhaustion. Shaun Stevens has proven that his construction of supercuspidal representations is exhaustive. So far we do not know whether our construction for Spin groups is such. We show, as did Shaun Stevens, that any supercuspidal representation of a Spin group contains a skew semi-simple stratum and further a skew semi¬simple character. It is more difficult to show that it contains also a cuspidal semi-simple type, we only give some partial results in that direction.
Abstract FR:
Cette thèse relève de la théorie des représentations lisses des groupes réductifs p-adiques sur un espace vectoriel complexe. Parmi elles, les représentations dites supercuspidales jouent un rôle éminent, parce qu'elles sont les briques de base de toute la classification et parce qu'elles ont un fort contenu arithmétique ; elles sont cependant difficiles à construire et à classifier. Au fil des ans la méthode de construction de ces représentations s'est perfectionnée, en particulier grâce aux travaux de Bushnell et Kutzko dans les années quatre-vingt-dix, et a pris le nom de théorie des types. Cette théorie a été ensuite affinée, en particulier par Shaun Stevens qui a réussi à exhiber une construction exhaustive des représentations supercuspidales des groupes classiques -- spécial orthogonal, symplectique, unitaire -- en supposant que le corps p-adique est de caractéristique résiduelle p impaire. On s'intéresse ici aux groupes spinoriels p-adiques, qui sont des revêtements simplement connexes, à deux feuillets, des groupes orthogonaux spéciaux p-adiques, en caractéristique résiduelle impaire. La thèse fournit une construction de représentations supercuspidales des groupes spinoriels qui étend celle de Shaun Stevens pour les groupes classiques. Cette construction s'appuie, comme celle de Stevens, sur les notions de strates serai-simples, caractères serai-simples et types semi-simples. La thèse s'intéresse ensuite au problème de l'exhaustivité de la construction. Shaun Stevens a montré que sa construction de représentations supercuspidales est exhaustive. Pour l'instant, on ne sait pas si la construction donnée pour les groupes spinoriels l'est. On montre, comme l'avait fait Stevens, que toute représentation supercuspidale d'un groupe spinoriel contient une strate semi-simple gauche, et même un caractère semi-simple gauche. Il est plus difficile de montrer qu'elle contient aussi un type semi-simple cuspidal, on établit cependant quelques résultats partiels dans cette direction.