Abstract EN:

Cette thèse est consacrée à l'étude d'interactions entre les corps quadratiques et les formes modulaires. La première partie porte sur les corps quadratiques réels. On étudie comment la théorie des périodes lie les fractions continues et les formes modulaires. En utilisant les théories de réduction des formes quadratiques binaires de discriminant positif et l'approximation Diophantienne sur la droite réelle projective, on démontre des conjectures de Zagier et d'autres résultats inattendus sur certaines fonctions réelles qui donnent lieu aux parties paires des polynômes de période des formes modulaires étant les coefficients de Fourier de la fonction noyau pour la correspondance de Shimura-Shintani. On améliore aussi un théorème classique de Serret sur les fractions continues. La deuxième partie porte sur les corps quadratiques imaginaires. Les formes modulaires liées à la correspondance de Shimura-Shintani qui apparaissent dans la première partie sont définies à partir de polynômes quadratiques à coefficients entiers et discriminant positif. Dans la deuxième partie, on étudie les analogues méromorphes, avec discriminant négatif. Enfin on calcule l'action de Galois sur des valeurs spéciales des fonctions theta normalisées par la fonction eta de Dedekind en utilisant la loi de réciprocité de Shimura. Comme conséquence, on démontre des résultats expérimentaux de Cohen et Zagier et on déduit des résultats sur la non-annulation de ces valeurs spéciales des fonctions theta.