Le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement pseudoconvexes
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Abstract EN:
The purpose of this thesis is to study the spectrum of sublaplacians on compact strictly pseudoconvex CR manifolds. We prove the discreteness of the Dirichiet spectrum of the sublaplacian ∆_b on a smoothly bounded domain Ω⊂M in a strictly pseudoconvex CR manifold M satisfying Poincaré inequality. We study the behavior of the eigenvalues of a sublaplacian ∆_b on a compact strictly pseudoconvex CR manifol as functions on the set P_+ of positively oriented contact forms on M by endowing P_+ with a natural metric topology. We establish inequalities for the eigenvalues of ∆_b on compact strictly pseudoconvex CR manifolds (possibly with nonempty boundary) %C^2 semi-isometric maps into a Euclidean space or a Heisenberg group. Our estimates extend those obtained by P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh} for the Dirichlet eigenvalues 0f the sublaplacian on a bounded domain in the Heisenberg group, in the spirit of Payne-P\’{o)lya -Weinberger and Yang inequalities. We establish a new lower bound on the first nonzero eigen value λ1_(θ) of the sublaplacian ∆_b on a compact strictly pseudoconvex CR manifold dollarMdollar carrying a contact form θ whose Tanaka-Webster connection has Ricci curvature bounded from below.
Abstract FR:
Le but de cette thèse est d’étudier le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement pseudoconvexe. Nous prouvons que le spectre du sous-laplacien ∆_b est discret sur un domaine borné Ω⊂M d’une variété CR strictement pseudoconvexe qui satisfait l’inégalité de Poincaré, sous les conditions de Dirichlet au bord. Nous étudions le comportement des valeurs propres du sous-laplacien ∆_b sur une variété C] strictement pseudoconvexe compacte M, en tait que fonctionnelle sur l’espace P_+ de formes de contact positivement orientées sur M en dotant P_+ d’une topologie métrique naturelle. Nous établissons des inégalités pour les valeurs propres de ∆_b sur des variétés CR strictement pseudoconvexes (éventuellement à bord non vide). Nos estimations prolongent les résultats d, tenus par P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh) pour les valeurs propres du sous-laplacien avec conditions de Dirichlet au bord sur un domaine borné du groupe de Heisenberg, et sont dans l’esprit des inégalités de Payne-PV(o)lya-Weinberger et Yang. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure sur la première valeur propre non nulle λ1_(θ) du sous-laplacien ∆_b sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte M munie d’une forme de contact θ dont la connexion de Tanaka-Webster est à courbure de Ricci minorée.