Résolution de systèmes de deux équations quadratiques
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Abstract EN:
Let q0 and q1 be two homogenous quadratic forms, with integral coeffi- cients, in n variables. Denote by Vq0,q1 the projective variety defined by the intersection of the quadrics associated to q0 and q1. In 1959, Mordell proved that the Hasse principle holds for n ≥ 13, then in 1964 Swinnerton-Dyer proved it for n ≥ 11. In 2006, Wittenberg improved this result in his the- sis, proving that, if we assume Schinzel’s hypothesis and finiteness of the Tate-Shafarevich groups then the Hasse principle holds for n ≥ 6. In this thesis, we study if the variety Vq0,q1 has some points over number real field and p-adic fields. If so, we give different algorithmes to compute explicitly a rational solution of q0 = q1 = 0.
Abstract FR:
Soient q0 et q1 deux formes quadratiques homogènes, à coefficients entiers, à n variables. Notons Vq0,q1 la variété projective définie par l’intersection des deux quadriques associées à q0 et q1. En 1959, Mordell a démontré le principe de Hasse pour n ≥ 13, puis en 1964 Swinnerton-Dyer l’a démontré pour n ≥ 11. En 2006, Wittenberg réussit à améliorer ce résultat dans sa thèse, en prouvant que, si l’on suppose l’hypothèse de Schinzel et la finitude des groupes de Tate-Shafarevich alors le principe de Hasse est vrai pour n ≥ 6. Dans cette thèse, nous allons étudier si la variété Vq0,q1 a des points sur le corps des réels et sur les corps p-adiques. Si c’est le cas, nous proposons différents algorithmes pour calculer explicitement une solution rationnelle de q0 =q1 =0.