Abstract FR:

La recherche des solutions d'une equation aux derivees partielles non lineaire sur une variete peut se faire en deux temps: on obtient d'abord des solutions geometriques, sous-varietes d'un espace de jets d'ordre approprie de fonctions reelles sur la variete ; ensuite, on regarde les projections de ces solutions geometriques dans l'espace des jets d'ordre zero (fronts d'onde, ou diagrammes de cerf). Il peut arriver que l'on cherche une vraie fonction reelle alors que le diagramme de cerf obtenu est le graphe d'une fonction multiforme ; m. Chaperon a remarque que, si l'equation est du premier ordre, il est souvent possible de construire une section de ce diagramme de cerf qui est une vraie fonction lipschitzienne, solution faible globale de l'equation. Cette solution etant construite comme minimax d'une famille generatrice quadratique a l'infini, l'etude des disontinuites (chocs) de sa differentielle est un probleme de theorie des singularites, qui fait l'objet de cette these. Apres des rappels sur les deformations verselles (1), le 2 contient le principal resultat theorique (theoreme 2. 11), etablissant en particulier que les singularites de ces fonctions minimax sont en general, a diffeomorphisme local pres, semi-algebriques ; son corollaire 2. 12 permet, dans le 3, de classifier ces singularites generiques en dimension au plus trois (theoreme 3. 1) ; lorsque cet espace de dimension trois est un espace-temps, le 4 etudie l'evolution generique des sections a temps constant du minimax. Toute cette premiere partie est concentree sur le probleme de theorie des singularites ; les applications aux equations aux derivees partielles figurent dans la seconde partie, qui contient par ailleurs des resultats nouveaux comme le theoreme 7. 1 et le contre-exemple 6. 3