Sur l'homologie sl3 des enchevêtrements : algèbres de Khovanov - Kuperberg
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is concerned with the Khovanov-Kuperberg algebras Ke and to their categories of modules. They are analogous, in the s13 context, to the H n algebras used by Khovanov to extend the s12 -homology (or Khovanov homology) to tangles. They appear as images of the 0-objects by a (0+1+1)-TQFT. They allow to define a s13 -homology for tangles. The categories of modules over: these algebras are especially interesting: from their own construction they are deeply connected to bases in some representations of the quantum group Uq(s13). It is hence natural to ask for a classification of the projective indecomposable modules over these algebras. We study web modules which are projective Kc -modules. It has been conjectured that these modules constitute a complete family of indecomposable projective KE -modules, but Khovanov and Kuperberg have exhibited a web module which decomposes as a direct sum. In this thesis we give two conditions on the indecomposability of web modules: a geometric sufficient condition and an algebraic necessary and sufficient condition. The results are proven on the one hand, through a combinatorial analysis of webs which are plane bicubic graphs, and of Laurent polynomial associated with each web called the Kuperberg bracket. And on the other hand, thanks to foams which plays the role of cobordisms for webs.
Abstract FR:
Cette thèse est consacrée aux algèbres de Khovanov-Kuperberg Kc et à leurs catégories de modules. Ce sont les analogues dans le cas s13 , des algèbres H n utilisées par Khovanov pour étendre l'homologie s12 (ou homologie de Khovanov) aux enchevêtrements. Elles apparaissent comme les images des 0-objets par une (0+1+1)-TQFT. Elles permettent de définir une homologie s13 aux enchevêtrements. Ces algèbres ont des catégories de modules particulièrement intéressantes : du fait même de leurs constructions, elles sont profondément liées à l'étude des bases de certaines représentations du groupe quantique Uq(s13 ). Il est alors naturel de vouloir classifier les modules projectifs indécomposables sur ces algèbres. Nous étudions les modules de toiles qui sont des Kr -modules projectifs. Il a été conjecturé que ces modules formaient une famille complète de représentants des classes d'isomorphismes de Kc-modules projectifs indécomposables, mais Khovanov et Kuperberg ont exhibé un module de toile qui se décompose. Dans cette thèse nous donnons deux condition sur l'indécomposabilité des modules de toiles : une condition suffisante de nature géométrique, et une condition nécessaire et suffisante de nature algébrique. Les résultats sont prouvés d'une part grâce à une étude combinatoire des toiles, qui sont des graphes trivalents bipartites plan et d'un polynôme de Laurent qui leur est associé, le Crochet de Kuperberg. Et d'autre part, grâce à l'étude des mousses qui jouent le rôle de cobordismes pour les toiles.