Asymptotique de modèles d'ondes nonlinéaires dans les domaines à bord
Institution:
Paris 13Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to the study of asymptotics of nonlinear wave models, more specifically the nonlinear wave equation and the nonlinear Schrödinger equation, in domains with boundary. We are mainly interested in the long time behavior (global existence and scattering) of solutions to these equations in domains exterior to non trapping obstacles that are not star-shaped, like the so-called illuminated from interior or from exterior and the so-called almost star-shaped. . . These obstacles are natural generalizations of the star-shaped and they were extensively studied in the 1960’s and 1970’s after the pioneering work of Morawetz for the starshaped case in the setting of local energy decay for the linear wave equation. For the energy critical nonlinear defocusing wave equation in 3 dimensions, scattering is only known for the star-shaped case. In this work, we extend the scattering for illuminated from exterior obstacles using the method of multipliers with weights that generalize the Morawetz multiplier to suit the geometry of the obstacle. For the nonlinear defocusing Schrödinger equation in 2 dimensions, global existence and scattering are known for the star-shaped case and for nonlinearities that grow at least as the quintic power. In this thesis, we extend the global existence result for all non trapping obstacles and for nonlinearities with power strictly greater than quartic. For such nonlinearities, we also prove scattering for star-shaped obstacles and for a class of almost star-shaped obstacles.
Abstract FR:
Cette thèse est consacrée à l’étude du comportement asymptotique de modèles d’ondes non linéaires, plus précisément l’équation des ondes non linéaire et l’équation de Schrödinger non linéaire, dans des domaines à bord. Nous sommes principalement intéressés par le comportement en temps long (existence globale et comportement de type scattering) de solutions à ces équations dans des domaines extérieurs d’un obstacle non-captant qui n’est pas étoilé, comme le cas dit illuminé depuis l’intérieur ou depuis l’extérieur et le cas dit presque étoilé. . . Ces obstacles sont des généralisations naturelles de la forme étoilée et ils étaient largement étudiés dans les années 1960 et 1970, après les travaux pionniers de Morawetz pour le cas étoilé dans le cadre de la décroissance de l’énergie locale pour l’équation des ondes linéaire. Pour l’équation des ondes non linéaire défocalisante critique en énergie en 3 dimensions, le comportement de type scattering n’est connu que pour le cas étoilé. Dans ce travail, nous étendons le scattering pour des obstacles illuminés depuis l’extérieur en utilisant la méthode de multiplicateurs avec des poids qui généralisent le multiplicateur de Morawetz pour être adapté à la géométrie de l’obstacle. Pour l’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante en 2 dimensions, l’existence globale et le scattering sont connus pour le cas étoilé et des non linéarités puissances qui croissent au moins comme la puissance quintique. Dans cette thèse, nous étendons le résultat d’existence globale pour tous obstacles non-captants et pour des non linéarités avec une puissance strictement supérieure à quartique. Pour tels non linéarités, nous montrons aussi le scattering pour les obstacles étoilés et pour une classe d’obstacles presque étoilés.