Etude de certains ensembles singuliers associés à une application polynomiale
Institution:
Aix-MarseilleDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
There are two parts in the present work. The first part concerns the asymptotic set of a polynomial mapping F: ℂⁿ→ℂⁿ. In the 90s, Zbigniew Jelonek showed that this set is a (n-1) - (complex) dimensional singular variety. We give a method, called "methode des façons", for stratifying this set. We obtain a Thom-Mather stratification. Moreover, there exists a Whitney stratification such that the set of possible fa{c c}ons is constant on every stratum. By using the fa{c c}ons, we give an algorithm for expliciting the asymptotic sets of a dominant quadratic polynomial mapping in three variables. As a result, we have a complete list of the asymptotic sets in this case. The second part concerns the set called Valette set V_F. In 2010, Anna and Guillaume Valette constructed a real pseudomanifold V_F ⊂ R^{2n+p}, where p≻0, associated to a polynomial mapping F: ℂⁿ→ℂⁿ. In the case n=2, they proved that if F is a polynomial mapping with nowhere vanishing Jacobian, then F is not proper if and only if the homology (or intersection homology) of V_F is not trivial in dimension 2. We give a generalization of this result, in the case of a polynomial mapping F: ℂⁿ→ℂⁿ with nowhere vanishing Jacobian. We give also a method for stratifying the set V_F. As applications, we have the stratifications of the set of asymptotic critical values of F and the set of bifurcation points of F.
Abstract FR:
Ce travail comporte deux parties dont la première concerne l'ensemble asymptotique S_F d'une application polynomiale F: ℂⁿ→ℂⁿ. Dans les année 90s, Jelonek a montré que cet ensemble est une variété algébrique complexe singulière de dimension (complexe) n-1. Nous donnons une méthode, appelée "méthode des façons", pour stratifier cet ensemble. Nous obtenons une stratification de Thom-Mather. Par ailleurs, il existe une stratification de Whitney de S_F telle que l'ensemble des fa{c c}ons possibles soit constant sur chaque strate. En utilisant les fa{c c}ons, nous donnons un algorithme pour expliciter l'ensemble asymptotique d'une application quadratique dominante en trois variables. Nous obtenons aussi une liste des ensembles asymptotiques possibles dans ce cas. La deuxième partie concerne l'ensemble V_F : En 2010, Anna et Guillaume Valette ont construit une pseudo-variété réelle V_F ⊂ R^{2n+p}, où p≻0, associée à une application polynomiale F: ℂⁿ→ℂⁿ. Dans le cas n=2, ils ont prouvé que si F est une application polynomiale de déterminant jacobien partout non nul, alors F n'est pas propre si et seulement si l'homologie d'intersection de V_F n'est pas triviale en dimension 2. Nous donnons une généralisation de ce résultat, dans le cas d'une application polynomiale F: ℂⁿ→ℂⁿ de jacobien partout non nul. Nous donnons aussi une méthode pour stratifier l'ensemble V_F. Comme applications, nous obtenons des stratifications de l'ensemble des valeurs critiques asymptotiques de F et de l'ensemble des points de bifurcation de F.