Variétés abéliennes et jacobiennes de courbes hyperelliptiques, en particulier à multiplication réelle ou complexe
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We discuss in this thesis some properties of abelian varrieties with real or complex multiplication especially of jacobians of hyperelliptic curves. We use, in different contexts, common tools, such as thêta functions or the theory of correspondences. After giving, in a first chapter, a recall of some notions we use all along this thesis, we get interested in families of curves with real multiplication by cyclotomic subfields. The existence of such curves has been proven in Endomorphism Algebras of Jacobians by Ellenberg. For each family of curves, we give excplicit constructions, recalling what is already known. In the third chapter, we use complex multiplication in order to factorise, over finite fields and in deterministic polynomial time, polynomials whose Galois group over Q is abelian : this is a generalisation of the extraction of square roots by Schoof. We construct, at the end of the chapter, an abelian variety of dimension 3 for which we prove it has complex multiplication, thanks to the theory of correspondences. Finally, in the last chapter, we generalise a result of Richelot in genus 2. We give here all the hyperelliptic curves, such as there is a 2-2-2 isogeny between their jacobians. There are four families, and two of them are duals : we use Recillas trigonal construction to find a correspondence between the curves of these families and then, we give another correspondence, which respects hyperelliptic involutions. We also give geometrical characterisations of these two families.
Abstract FR:
On discute dans ce mémoire de quelques propriétés de variétés abéliennes à multiplication réelle ou complexe, et principalement de jacobiennes de courbes hyperelliptiques. On utilise, dans différentes situations, des outils communs comme les fonctions thêta ou la théorie des correspondances. Après avoir donné, dans un premier chapitre, un rappel de ces notions que l'on utilise de façon transversale tout au long de ce mémoire, on s'intéresse à des familles de courbes à multiplication réelle par des sous-corps cyclotomiques dont l'existence a été montrée dans Endomorphism Algebras of Jacobians par Ellenberg. Nous donnons à chaque fois les constructions explicites de ces courbes, en les rapprochant de ce qui est déjà connu. Dans le troisième chapitre on utilise la multiplication complexe pour factoriser, sur les corps finis et en temps polynomial déterministe, des polynômes dont le groupe de Galois sur Q est abélien : c'est une généralisation de l'extraction de racines carrées donnée par Schoof. On construit à la fin une variété abélienne de dimension 3 dont on prouve qu'elle est à multiplication complexe, grâce à la théorie des correspondances. Enfin, dans le dernier chapitre, on généralise un résultat de Richelot en genre 2. On donne ici toutes les courbes hyperelliptiques de genre 3 pour lesquelles il y a une 2-2-2 isogénie entre leurs jacobiennes. On fait apparaître 4 familles parmi lesquelles 2 sont duales : on utilise la construction trigonale de Recillas pour trouver une première correspondance qui respecte les involutions hyperelliptiques. On fournit des caractérisations géométriques de ces deux familles.