Abstract FR:

La cohomologie d'un groupe discret à coefficients réels (ou complexes) peut être vue comme la cohomologie de de Rham du quotient d'une variété contractile par une action libre et propre de ce groupe. Il est alors naturel d'envisager l'existence de sous-complexes du complexe des formes différentielles invariantes induisant la même cohomologie, c'est-à-dire pour lesquels l'inclusion est un quasi-isomorphisme. Cette question est étudiée dans le cadre du quotient de l'espace hyperbolique réel par un groupe kleinéen, le sous-complexe considéré étant celui des formes automorphes. Ce problème est alors connu sous le nom de conjecture de Borel, et admet une variante, parfois nommée conjecture de Borel-Harder. Cette conjecture est résolue par la théorie de Hodge classique dans le cas où le quotient est compact et a été prouvée par Franke dans le cas où le quotient est de volume fini. Nous étudions dans ce travail des cas simples où le quotient est de volume infini : celui des groupes élémentaires. Pour cela, nous utilisons la transformation de Poisson pour déplacer le problème sur la sphère à l'infini de l'espace hyperbolique. On calcule alors explicitement la cohomologie des courants invariants sur cette sphère grâce à la décomposition en une partie régulière sur le domaine de discontinuité et une partie irrégulière sur l'ensemble limite. Ce calcul est mené dans le cas de groupes d'abord monogènes de type hyperbolique (engendré par une loxodromie) puis parabolique (engendré par une translation en dimension 2). Un argument de moyenne permet alors d'étendre ces calculs à des classes plus grandes de groupes élémentaires. On en déduit explicitement la cohomologie des formes automorphes harmoniques cofermées via la transformation de Poisson, et la confrontation de ces résultats à la cohomologie de de Rham du quotient en dimension paire permet alors de répondre positivement à la conjecture de Borel-Harder dans les cas envisagés.