Morita theory in enriched context
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We develop a homotopy theoretical version of classical Morita theory using the notion of a strong monad. It was Anders Kock who proved that a monad T in a monoidal category Σ is strong if and only if T is enriched in Σ. We prove that this correspondence between strength and enrichment follows from a 2-isomorphism of 2-catgories. Under certain conditions on T, we prove that the category of T-algebras is Quillen equivalent to the category of modules over the endomorphism monoid of the T-algebra T (I) freely generated by the unit I of Σ. In the special case where Σ is the category of Γ-spaces equipped with Bousfield-Friedlander’s stable model structure and T is the strong monad associated to a well-pointed Γ-theory, we recover a theorem of Stefan Schwede, as an instance of a general homotopical Morita theorem.
Abstract FR:
Nous développons une version homotopique de la théorie de Morita classique en utilisant la notion de monade forte. C’était Anders Kock qui a montré qu’une monade T dans une catégorie monoidale Σ est forte si et seulement si la monade T est enrichie. Nous montrons que cette correspondance entre force et enrichissement se traduit par un 2-isomorphisme de 2-catégories. Sous certaines conditions sur la monade T, nous montrons que la catégorie homotopique des T-algèbres est équivalente au sens de Quillen à la catégorie homotopique des modules sur le monoïde d’endomorphismes de la T-algèbre T (I) librement engendré par l’unité de Σ. Dans le cas particulier ou le Σ est la catégorie des Γ-espaces de Segal munie de la structure de modèle stable de Bousfield-Friedlander et T est la monade forte associée à une Γ-théorie bien pointée, nous retrouvons un théorème de Stefan Schwede, comme corollaire du théorème homotopique de Morita.