Propriétés de régularité homologique des variétés de drapeaux quantiques et d’algèbres associées.
Institution:
Paris 13Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The objects of study of this thesis are two families of ”noncommutative varieties”, that is noetherian connected N-graded algebras which, following the general notions of noncommutative geometry, we regard as analogues of homogeneous coordinate rings of certain projective varieties. The first family is that of quantum toric varieties, which are graded subalgebras of quantum tori. We classify these algebras and study their homological regularity properties as defined by Artin-Schelter, Zhang, Van den Bergh, etc. The second family is that of quantum flag varieties and associated algebras, noncommutative analogues of the homogeneous coordinate rings of flag varieties and their Schubert subvarieties. We show that the members of this second family can be endowed with a filtration such that their associated graded algebras are quantum toric varieties. We then show that the homological regularity properties of quantum flag and Schubert varieties can be deduced from those of quantum toric varieties.
Abstract FR:
Deux familles d'algèbres noethériennes connexes constituent les objets d'étude de cette thèse ; on les regarde, suivant les idées générales de la géométrie non commutative, comme des anneaux de coordonnées homogènes de certaines variétés projectives. La première famille est celle des variétés toriques quantiques, autrement dit les sous algèbres graduées de tores quantiques. Nous classifions ces algèbres et nous étudions ses propriétés de régularité homologique suivant notamment Artin-Schelter, Zhang et Van den Bergh. La deuxième famille est celle des variétés de drapeaux quantiques et leurs sous variétés de Schubert. Nous démontrons que les algèbres appartenant à cette deuxième famille possèdent une filtration tel que leur graduée associé est une variété torique quantique. Ensuite nous démontrons que les propriétés de régularité homologique des variétés de drapeaux quantiques et des variétés de Schubert se déduisent de celles des variétés toriques quantiques.