Représentation l-extrémales des algèbres toroïdales quantiques
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to the study of quantum toroidal algebras and their representations. In the spirit of M. Kashiwara and following the definition suggested by D. Hernandez, we give different constructions of integrable representations called extremal loop weight representations. By specializing the quantum parameter, we get finite-dimensional representations of quantum toroidal algebras at roots of unity. The first construction uses the monomial crystals. We read into the monomials occurring in the monomial realizations of extremal crystals in term of q-characters of representations over the quantum toroidal algebra (via promotion operators). In the second construction, the extremal loop weight representations are obtained by fusion product of I-highest weight representations and 1-lowest weight representations (theaction being defined via the Drinfeld coproduct). We also give a construction via the affinization algebra of type A infinity and its combinatorial link with the quantum toroidal algebras.
Abstract FR:
Cette thèse est consacrée à l’étude des algèbres toroïdales quantiques et de leurs représentations. Dans l’esprit des travaux de M. Kashiwara et suivant la définition pro- posée par D. Hernandez, nous présentons différentes constructions de représentations intégrables appelées représentations extrémales. Par spécialisation du paramètre quantique, nous obtenons des représentions de dimension finie des algèbres toroïdales quantiques aux racines de l’unité. La première construction utilise les cristaux monomiaux. Nous interprétons les monômes apparaissant dans les réalisations des cristaux extrémaux en terme de q-caractères de représentation sur l’algèbre toroïdale quantique (via des opérateurs de promotion). Dans la seconde construction, les représentations l-extrémales sont obtenues par produit de fusion de représentations de plus haut l-poids et de plus bas l-poids (l’action étant définie via le coproduit de Drinfeld). Nous proposons également une construction via l’algèbre affinisée de type A infini et son lien combinatoire avec les algèbres toroïdales quantiques.