Abstract EN:

Dans cette thèse on s'intéresse à des problèmes de contrôle optimal avec contraintes sur l'état et plus précisément à des conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité. Dans le cadre des conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre, il est bien connu qu'une approche variationnelle mène à des démonstrations à la fois directes et bien adaptées à la généralisation à des problèmes où le système contrôlé est donné par une inclusion différentielle. Ici on étend cette approche à des conditions nécessaires d'optimalité du second ordre. Comme on montre dans cette thèse, ceci a l'avantage qu'on peut travailler directement dans l'espace des processus et cela permet de considérer des contraintes plus générales. De surcroît, comme pour le premier ordre, on montre que la méthode est adaptée pour des systèmes contrôlés donnés par une inclusion différentielle. On obtient ainsi des conditions nécessaires d'optimalité du second ordre qui sont applicables dans un cadre très général. En s'inspirant des conditions nécessaires du second ordre, on introduit une approche géométrique des conditions suffisantes d'optimalité du second ordre. En supposant que l'ensemble des contraintes sur l'état est convexe, on obtient ainsi des conditions suffisantes d'optimalité qui sont applicable sous des hypothèses de régularité des données qui sont beaucoup moins fortes que celle qu'on trouve dans la littérature. En particulier, le contrôle de référence est supposé d'être seulement mesurable, les dynamiques peuvent être discontinues par rapport au temps et les conditions de qualification des contraintes sont moins restrictives.